Somme de carrés

Tu veux dire un corps de nombre $K$ tel que $O_K = O_K^2+O_K^2+O_K^2+O_K^2$.

Si $K = \mathbb{Q}(i)$ alors $O_K^2+O_K^2$ contient $2O_K+1$ donc $O_K^2+O_K^2 + c^2, c \in \{0,1\}$ contient $2O_K \cup 2O_K+1$,

et comme $O_K^2 \subset \mathbb{Z}+2i \mathbb{Z}$, aucun élément de $2O_K+i \cup 2O_K+1+i$ n'est dans $O_K^2+O_K^2+O_K^2+O_K^2$ et $ O_K^2+O_K^2+O_K^2+O_K^2=O_K^2+O_K^2 + c^2, c \in \{0,1\}=2O_K \cup 2O_K+1$.

J'imagine que dans tous les corps qui contiennent $i$, tu dois pouvoir dire quelque chose de comparable en terme du groupe additif généré par les éléments de $O_K^2$ qui ne contient aucun élément d'un sous-espace du $\mathbb{F}_2$ espace vectoriel $O_K/(2)$