Algébriques de degré $3$ dans $\Bbb{Q}_3$

reuns
reuns
dans Arithmétique
Bonjour,

J'aimerais comprendre l'extension infinie $E_p / \mathbb{Q}$ où $E_p=\mathbb{Q}_p \cap \overline{\mathbb{Q}} $. Si $L/\mathbb{Q}$ est Galois de degré $\not \equiv 0 \bmod p$ alors $L \subset T_p = \lim_{ \ell \to \infty}\mathbb{Q}_p(\zeta_{p^{\ell !}-1}, p^{1/(p^{\ell !}-1)}) $. Donc la difficulté c'est le cas où $p | [L:\mathbb{Q}]$.

Soit $f(X) = X^3+X+1\in \mathbb{Z}[X]$ irréductible et $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ ses racines et $K = \mathbb{Q}(\alpha_1)$.

$f(X) = (X-1)(X^2+X-1) \bmod 3$ et $f \bmod 3$ n'a pas de racine double donc $3O_K = (3,\alpha_1+1)(3,\alpha_1^2+\alpha_1-1)$ idéaux premiers de norme $3$ et $9$.

Avec $\mathfrak{p}_1 = (3,\alpha_1+1)$ on a un isomorphisme $\rho : \varprojlim O_K/\mathfrak{p}_1^n\to \mathbb{Z}_3$ et $\rho(\alpha_1) \in \mathbb{Q}_3$ et $\rho(\alpha_2),\rho(\alpha_3) \not \in \mathbb{Q}_3$.

Ainsi $E_3/\mathbb{Q}$ n'est pas une extension normale.

Sait-on construire d'autres éléments de $E_3$ de degré $3^r$ ?

Quels éléments ajouter à $E_3$ pour obtenir la clôture normale de $E_3/\mathbb{Q}$ ?

Même question avec les éléments de $E_p$ de degré $p^r$.

Réponses

  • aurelpage
    aurelpage
    Salut,

    Appelons $F_p$ la cloture normale de $E_p$. Le corps $E_p$ est l'ensemble des éléments de $\Q_p$ qui sont algébriques sur $\Q$; le corps $F_p$ est l'ensemble des éléments de $\overline{\Q_p}$ qui sont algébriques sur $\Q$ et dont le polynôme minimal sur $\Q$ admet une racine dans $\Q_p$.

    Une remarque qui répond partiellement à tes questions : le complété $p$-adique de $F_p$ est $\C_p$ (par définition le complété de $\overline{\Q_p}$). La preuve construit des éléments explicites de $E_p$.

    Preuve : Il suffit de montrer que le complété de $F_p$ contient $\overline{\Q_p}$. Soit $\alpha\in \overline{\Q_p}$, et soit $A\in\Q_p[X]$ son polynôme minimal sur $\Q_p$.
    Soit $B\in\Q[X]$ unitaire assez proche $p$-adiquement de $A$ pour que $\Q_p(\beta)\cong \Q_p(\alpha)$, où $\beta$ est une racine de $B$ (lemme de Krasner).
    Soit $C\in\Q[X]$ unitaire et suffisamment proche $p$-adiquement de $X\cdot B$ pour que sa factorisation dans $\Q_p[X]$ soit de la forme $C=(X-\gamma_0)C_1$, avec $\gamma_0\in\Q_p$ et $\Q_p(\gamma_1)=\Q_p(\beta)$ où $\gamma_1$ est une racine de $C_1$ (toujours Krasner). On peut choisir $C$ irréductible dans $\Q[X]$ (irréductibilité de Hilbert). De plus $\gamma_0\in E_p$, donc $\gamma_1\in F_p$ puisque c'est un conjugué de $\gamma_0$ sur $\Q$. Par ailleurs, on peut rendre $\gamma_1$ aussi proche qu'on veut de $\alpha$, ce qui prouve l'assertion.

    Tu peux ajuster la construction pour obtenir des éléments de $E_p$ du degré que tu veux. :-) Mais je ne suis pas sûr que c'était le genre de construction que tu cherchais.

    Le corps $F_p$ est beaucoup plus gros que $E_p$ : son corps résiduel est $\overline{\mathbb{F}_p}$ (alors que celui de $E_p$ est $\mathbb{F}_p$), sa valuation se surjecte sur $\Q$, alors que celle de $E_p$ est à valeurs dans $\Z$, etc.

    Amitiés,
    Aurel
  • reuns
    reuns
    Merci beaucoup. Je reformule ta construction telle que je la comprends :

    Soit $\alpha \in \overline{\mathbf{Z}}$ et $A$ son polynôme minimal dans $\mathbf{Z}_p$.

    Krasner : si $k$ est suffisament grand et que $B \in \mathbf{Z}_p[X],B= A+O(p^k), \deg(B) = \deg(A)$ alors les racines de $B$ génèrent les mêmes extensions de $\mathbf{Z}_p$ que celles de $A$ (et donc $B$ est irréductible)

    On prend un $B \in \mathbf{Z}[X]$ qui satisfait cette condition
    • Supposons que $A(0)\equiv B(0) \not \equiv 0 \bmod p$.

      Soit $D\in \mathbf{Z}[X]$ tel que $ C = XB + p^{k+1} D, \deg(C) = \deg(B)+1$ n'a pas de racine dans $\mathbf{Z}$ (donc est irréductible dans $\mathbf{Z}[X]$)

      Alors $C(0) \equiv 0 \bmod p$ et $C'(0) \equiv B(0) \not \equiv 0 \bmod p$ donc par le lemme d'Hensel $C$ a une racine $\gamma \in \mathbf{Z}_p$ et les autres racines de $C$ (les conjugués de $\gamma \in \overline{\mathbf{Z}}$) génèrent les mêmes extensions de $\mathbf{Z}_p$ que les racines de $B$ et $A$.
      $$ $$
    • Si $B(0) \equiv 0 \bmod p$ alors $B(X) = \prod_{j=1}^n (X-\beta_j)$ et $|\beta_j|_p = |B(0)|_p^{1/n} < 1$ donc $|1-\beta_j|_p = 1$ et $|B(1)|_p = 1$.

      On prend $D\in \mathbf{Z}[X]$ tel que $ C = XB(X+1) + p^{k+1} D, \deg(C) = \deg(B+1)$ est irréductible dans $\mathbf{Z}[X]$.

      Alors $C(0) \equiv 0 \bmod p$ et $C'(0) \equiv B(1) \not \equiv 0 \bmod p$ donc par le lemme d'Hensel $C$ a une racine $\gamma \in \mathbf{Z}_p$ et les autres racines de $C$ (les conjugués de $\gamma \in \overline{\mathbf{Z}}$) génèrent les mêmes extensions de $\mathbf{Z}_p$ que les racines de $B$ et $A$.
    Et donc les $\overline{\mathbf{Z}}$ conjugués des éléments de $\mathbf{Z}_p \cap \overline{\mathbf{Z}}$ génèrent toutes les extensions de $\mathbf{Z}_p$ et sont $p$-adiquement denses dans $\overline{\mathbf{Z}}, \overline{\mathbf{Z}}_p,(\mathbf{C}_p)_{|.|_p \le 1}$.
  • aurelpage
    aurelpage
    Oui, c'est tout à fait ça !
    Est-ce que c'est le genre de construction que tu cherchais ? On ne peut pas dire que ça soit une description explicite des éléments à ajouter à $E_p$ pour obtenir $F_p$, mais j'aurais tendance à douter qu'une description plus explicite existe ($E_p$ et $F_p$ sont des objets globaux définis par des conditions locales, donc probablement très compliqués).
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