Exercice

Zakariyae
Zakariyae
dans Arithmétique
Salut à tous,
J'ai besoin de l'aide pour l'exercice suivant:

1) Soit $n\in\mathbb Z$.
a) Montrer que $(5n^3-n)\wedge (n+2) =(n+2)\wedge 38$.
b) Déterminer toutes les valeurs possibles de $(5n^3-n)\wedge (n+2)$.
2) Déterminer les entiers $n\in \mathbb Z$ vérifiant $(5n^3-n)\wedge (n+2)=19$.

Merci d'avance

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Écris $5 n^3-n$ selon $m=n+2$...
  • Zakariyae
    Zakariyae
    Bonjour YvesM,
    Il y a un résultat qui dit:
    "Soit $a \in \mathbb Z; b \in \mathbb Z$. Si $a = qb + r$, où $q, r \in \mathbb Z$, alors $a \wedge b = b \wedge r$".
    On fait donc la division euclidienne de $(5n^3-n)$ par $(n+2)$, on obtient que $(5n^3-n)= (n+2) (5n^2-10n+19) - 38$, par suite on a
    $$(5n^3-n)\wedge (n+2) =(n+2)\wedge 38.$$
    Pour les autres questions?
    Merci d'avance
  • Fin de partie
    Fin de partie
    PGCD: Plus grand commun diviseur.
  • Zakariyae
    Zakariyae
    Bonjour Fin de partie,
    Est ce qu'on va utiliser l'algorithme d'Euclide donc? mais dans ce cas, on a $(5n^3-n)= (n+2) (5n^2-10n+19) - 38$ et pour que $n+2>38$ on doit supposer que $n>36$ ?
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Tu as le droit dans la question b) d'utiliser a). Que te dit le résultat démontré dans la question a) ?
  • Zakariyae
    Zakariyae
    le pgcd de $ (5n^3-n)$ et $ (n+2)$ égale au pgcd de $(n+2)$ et $38$. Donc, les valeurs possibles de $(5n^3-n)\wedge (n+2)$ sont les meme que $(n+2)\wedge 8$.
  • Gilles old
    Gilles old
    Le PGCD de $n+2$ et $38$ divise $38$, ce qui limite les possibilités.
  • Zakariyae
    Zakariyae
    Bonjour Gilles, donc les possibilités sont les diviseurs de $38$ et donc sont $19$ et $1$ puisque $19$ est un premier, c'est ca?
  • Gilles old
    Gilles old
    Les possibilités sont tous les diviseurs de 38, il y en a donc 4.
  • Zakariyae
    Zakariyae
    oui oui vous avez raison, $38$ possède $4$ diviseurs qui sont : $1; 2; 19$ et $38$.
    Et donc pour la dernière question, on a $(5n^3-n)\wedge (n+2) =(n+2)\wedge 38$ et $(n+2)\wedge 38=19$ donc $n=17$.
  • Gilles old
    Gilles old
    Pour la dernière question, à quelle condition sur $n+2$, le PGCD de $n+2$ et $38$ est-il 19 ?
  • Zakariyae
    Zakariyae
    $n=17$
  • Gilles old
    Gilles old
    et $55$ ?
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Et n=74? (ne fonctionne pas)

    PS:

    Mais n=93 marche si je vois bien.
  • Gilles old
    Gilles old
    Il n'est bien dur de trouver la condition nécessaire et suffisante : $n \equiv 17 \,[38]$.
  • Zakariyae
    Zakariyae
    je pense, donc $n=17$ et tous les entiers $n$ tels que $(\frac{n+2}{19})\wedge 2=1$?
  • Gilles old
    Gilles old
    Oui, autrement dit, les entiers $n$ tel que $n+2$ soit de la forme $19k$, avec $k$ impair. En écrivant $k=2k'+1$, tu arrives à la conclusion que j'ai donnée juste au-dessus.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Zakariyae:

    Si $n$ est pair que penses-tu du PGCD de $n+2$ et de $5n^3-n$ ?
  • Gilles old
    Gilles old
    Je me demande bien ce qu'il peut en penser, à part que le PGCD peut être 2 ou 38. :-S
  • Zakariyae
    Zakariyae
    @Fin de partie, l'entier $n$ doit etre un nombre impair.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Zakariyae :

    C'est vrai. Tu as toutes les informations pour terminer cette question.

    n+2 est divisible par 19 si et seulement si.....

    PS:
    Tu peux aussi utiliser les congruences pour établir la divisibilité par 19.
  • Gilles old
    Gilles old
    Mais Zakariyae, pourquoi n'as-tu pas terminé avec ton raisonnement de ce matin ?
  • Zakariyae
    Zakariyae
    @Fin de partie, j'ai trouvé un dificulté pour continue avec votre raisonnement si vous pouvez m'aider pour terminer cette question!!
    Cepandant, on a $(5n^3-n)\wedge (n+2)=19$, donc $(\frac{n+2}{19})\wedge 2=1$ et comme les nombres premiers avec 2 sont: $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, \dots$

    Donc les valeurs possibles de $\frac{n+2}{19}$ sont: $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, \dots$

    Donc $n+2$ sont tels que: $3\times 19, 5 \times 19, \dots 51\times 19, \dots$, donc $n$ sont tels que: $(3\times 19-2), (5 \times 19 -2), \dots (51\times 19-2), \dots$
  • Gilles old
    Gilles old
    @Zakariyae

    Pourquoi ignores-tu mes messages ? Les nombres premiers avec $2$ sont les nombres impairs, donc de la forme $2k+1$. D'où $\frac{n+2}{19}=2k+1$ et $n=19(2k+1)-2=38k+17$. Tu n'obtiendras rien de plus simple.
  • Zakariyae
    Zakariyae
    Ok merci beaucoup @Gilles (tu)
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Si $n$ est congru à $-2$ modulo 19 , puisque, $5\times (-2)^3-(-2)=-38$, alors $5n^3-n$ est divisible par $19$

    Le problème est qu'on veut que $n+2$ et $5n^3-n$ n'aient que pour diviseur $19$ et on sait qu'ils pourraient avoir $38$ comme diviseur commun. S'ils ont $38$ comme diviseur commun c'est qu'ils sont pairs tous les deux.

    Si $n$ pair alors $n+2$ aussi

    Mais $n$ divise $5n^3-n=n(5n^2-1)$ donc si $n+2$ est pair alors $5n^3-n$ aussi et donc leur pgcd est divisible par $2$.

    Si $n$ est impair alors $n+2$ est impair aussi et $2$ ne divise pas le pgcd de $n$ et de $5n^3-n$.

    Donc finalement, les $n$ qui conviennent sont les $n$ impairs et qui sont congrus à $-2$ modulo $19$.
    (c'est une autre manière de dire ce que Gilles dit plus haut)
  • Gilles old
    Gilles old
    Je le reprends à ma sauce, tant qu'à avoir montré que $(5n^3-n)\wedge (n+2) =(n+2)\wedge 38$, autant l'utiliser.
    Le PGCD est nécessairement 1, 2, 19 ou 38.
    Pour que ce PGCD soit 19, il faut et il suffit que $n+2$ soit divisible par 19 et non divisible par 38 ; pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que $n+2$ soit divisible par 19 et non pair. En effet, si $n+2$ est pair et divisible par 19, comme 2 et 19 sont premiers entre eux, il est divisible par 38. Réciproquement, si $n+2$ est divisible par 19 et non pair, il n'est pas divisible par 38 qui est pair.
    Ainsi, $n+2$ s'écrit $19k$ avec $k$ impair et on retombe sur ce que j'écrivais au-dessus.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Le fait que le pgcd de ces nombres ne peut être que 1,2,19,38 est utilisé dans mon raisonnement.
    Un diviseur commun qui est au moins égal à 19, est soit 19,38. Il faut éliminer le cas 38 ce que j'ai fait. On l'élimine en ne considérant que les entiers $n$ impairs.
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