Exercice
dans Arithmétique
Salut à tous,
J'ai besoin de l'aide pour l'exercice suivant:
1) Soit $n\in\mathbb Z$.
a) Montrer que $(5n^3-n)\wedge (n+2) =(n+2)\wedge 38$.
b) Déterminer toutes les valeurs possibles de $(5n^3-n)\wedge (n+2)$.
2) Déterminer les entiers $n\in \mathbb Z$ vérifiant $(5n^3-n)\wedge (n+2)=19$.
Merci d'avance
J'ai besoin de l'aide pour l'exercice suivant:
1) Soit $n\in\mathbb Z$.
a) Montrer que $(5n^3-n)\wedge (n+2) =(n+2)\wedge 38$.
b) Déterminer toutes les valeurs possibles de $(5n^3-n)\wedge (n+2)$.
2) Déterminer les entiers $n\in \mathbb Z$ vérifiant $(5n^3-n)\wedge (n+2)=19$.
Merci d'avance
Réponses
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Bonjour,
Écris $5 n^3-n$ selon $m=n+2$... -
Bonjour YvesM,
Il y a un résultat qui dit:
"Soit $a \in \mathbb Z; b \in \mathbb Z$. Si $a = qb + r$, où $q, r \in \mathbb Z$, alors $a \wedge b = b \wedge r$".
On fait donc la division euclidienne de $(5n^3-n)$ par $(n+2)$, on obtient que $(5n^3-n)= (n+2) (5n^2-10n+19) - 38$, par suite on a
$$(5n^3-n)\wedge (n+2) =(n+2)\wedge 38.$$
Pour les autres questions?
Merci d'avance -
PGCD: Plus grand commun diviseur.
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Bonjour Fin de partie,
Est ce qu'on va utiliser l'algorithme d'Euclide donc? mais dans ce cas, on a $(5n^3-n)= (n+2) (5n^2-10n+19) - 38$ et pour que $n+2>38$ on doit supposer que $n>36$ ? -
Tu as le droit dans la question b) d'utiliser a). Que te dit le résultat démontré dans la question a) ?
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le pgcd de $ (5n^3-n)$ et $ (n+2)$ égale au pgcd de $(n+2)$ et $38$. Donc, les valeurs possibles de $(5n^3-n)\wedge (n+2)$ sont les meme que $(n+2)\wedge 8$.
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Le PGCD de $n+2$ et $38$ divise $38$, ce qui limite les possibilités.
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Bonjour Gilles, donc les possibilités sont les diviseurs de $38$ et donc sont $19$ et $1$ puisque $19$ est un premier, c'est ca?
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Les possibilités sont tous les diviseurs de 38, il y en a donc 4.
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oui oui vous avez raison, $38$ possède $4$ diviseurs qui sont : $1; 2; 19$ et $38$.
Et donc pour la dernière question, on a $(5n^3-n)\wedge (n+2) =(n+2)\wedge 38$ et $(n+2)\wedge 38=19$ donc $n=17$. -
Pour la dernière question, à quelle condition sur $n+2$, le PGCD de $n+2$ et $38$ est-il 19 ?
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$n=17$
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et $55$ ?
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Et n=74? (ne fonctionne pas)
PS:
Mais n=93 marche si je vois bien. -
Il n'est bien dur de trouver la condition nécessaire et suffisante : $n \equiv 17 \,[38]$.
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je pense, donc $n=17$ et tous les entiers $n$ tels que $(\frac{n+2}{19})\wedge 2=1$?
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Oui, autrement dit, les entiers $n$ tel que $n+2$ soit de la forme $19k$, avec $k$ impair. En écrivant $k=2k'+1$, tu arrives à la conclusion que j'ai donnée juste au-dessus.
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Zakariyae:
Si $n$ est pair que penses-tu du PGCD de $n+2$ et de $5n^3-n$ ? -
Je me demande bien ce qu'il peut en penser, à part que le PGCD peut être 2 ou 38. :-S
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Zakariyae :
C'est vrai. Tu as toutes les informations pour terminer cette question.
n+2 est divisible par 19 si et seulement si.....
PS:
Tu peux aussi utiliser les congruences pour établir la divisibilité par 19. -
Mais Zakariyae, pourquoi n'as-tu pas terminé avec ton raisonnement de ce matin ?
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@Fin de partie, j'ai trouvé un dificulté pour continue avec votre raisonnement si vous pouvez m'aider pour terminer cette question!!
Cepandant, on a $(5n^3-n)\wedge (n+2)=19$, donc $(\frac{n+2}{19})\wedge 2=1$ et comme les nombres premiers avec 2 sont: $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, \dots$
Donc les valeurs possibles de $\frac{n+2}{19}$ sont: $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, \dots$
Donc $n+2$ sont tels que: $3\times 19, 5 \times 19, \dots 51\times 19, \dots$, donc $n$ sont tels que: $(3\times 19-2), (5 \times 19 -2), \dots (51\times 19-2), \dots$ -
@Zakariyae
Pourquoi ignores-tu mes messages ? Les nombres premiers avec $2$ sont les nombres impairs, donc de la forme $2k+1$. D'où $\frac{n+2}{19}=2k+1$ et $n=19(2k+1)-2=38k+17$. Tu n'obtiendras rien de plus simple. -
Si $n$ est congru à $-2$ modulo 19 , puisque, $5\times (-2)^3-(-2)=-38$, alors $5n^3-n$ est divisible par $19$
Le problème est qu'on veut que $n+2$ et $5n^3-n$ n'aient que pour diviseur $19$ et on sait qu'ils pourraient avoir $38$ comme diviseur commun. S'ils ont $38$ comme diviseur commun c'est qu'ils sont pairs tous les deux.
Si $n$ pair alors $n+2$ aussi
Mais $n$ divise $5n^3-n=n(5n^2-1)$ donc si $n+2$ est pair alors $5n^3-n$ aussi et donc leur pgcd est divisible par $2$.
Si $n$ est impair alors $n+2$ est impair aussi et $2$ ne divise pas le pgcd de $n$ et de $5n^3-n$.
Donc finalement, les $n$ qui conviennent sont les $n$ impairs et qui sont congrus à $-2$ modulo $19$.
(c'est une autre manière de dire ce que Gilles dit plus haut) -
Je le reprends à ma sauce, tant qu'à avoir montré que $(5n^3-n)\wedge (n+2) =(n+2)\wedge 38$, autant l'utiliser.
Le PGCD est nécessairement 1, 2, 19 ou 38.
Pour que ce PGCD soit 19, il faut et il suffit que $n+2$ soit divisible par 19 et non divisible par 38 ; pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que $n+2$ soit divisible par 19 et non pair. En effet, si $n+2$ est pair et divisible par 19, comme 2 et 19 sont premiers entre eux, il est divisible par 38. Réciproquement, si $n+2$ est divisible par 19 et non pair, il n'est pas divisible par 38 qui est pair.
Ainsi, $n+2$ s'écrit $19k$ avec $k$ impair et on retombe sur ce que j'écrivais au-dessus. -
Le fait que le pgcd de ces nombres ne peut être que 1,2,19,38 est utilisé dans mon raisonnement.
Un diviseur commun qui est au moins égal à 19, est soit 19,38. Il faut éliminer le cas 38 ce que j'ai fait. On l'élimine en ne considérant que les entiers $n$ impairs.
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Bonjour!
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