Partition du nombre 23
dans Arithmétique
Bonjour,
on dit qu'un entier naturel non nul $N$ est magique s'il existe des entiers naturels non nuls, non nécessairement distincts, $a_1,a_2,\cdots,a_n$ tels que :
$$
N=a_1+a_2+\cdots+a_n\qquad\quad\hbox{et}\qquad\quad \dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}=1.
$$
Par exemple 11 est magique puisque $11=2+3+6$ et $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=1$.
En 1963, Graham a montré que tous les entiers $N\geq 78$ sont magiques, et que 77 ne l'est pas. Je m'intéresse à ceux qui sont $<77$ et qui ne sont pas magiques. Je pense notamment au nombre 23, est-il magique? J'ai l'impression qu'il ne l'est pas mais je n'arrive pas à le montrer. Avez -vous des idées ?
Cordialement,
Yan2
on dit qu'un entier naturel non nul $N$ est magique s'il existe des entiers naturels non nuls, non nécessairement distincts, $a_1,a_2,\cdots,a_n$ tels que :
$$
N=a_1+a_2+\cdots+a_n\qquad\quad\hbox{et}\qquad\quad \dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}=1.
$$
Par exemple 11 est magique puisque $11=2+3+6$ et $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=1$.
En 1963, Graham a montré que tous les entiers $N\geq 78$ sont magiques, et que 77 ne l'est pas. Je m'intéresse à ceux qui sont $<77$ et qui ne sont pas magiques. Je pense notamment au nombre 23, est-il magique? J'ai l'impression qu'il ne l'est pas mais je n'arrive pas à le montrer. Avez -vous des idées ?
Cordialement,
Yan2
Réponses
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As-tu une référence concernant le résultat de Graham ?
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Brute force. Ce n'est pas glorieux (voire stupide). La liste des entiers $n \le 77$ qui sont magiques. Sous-entendu, ceux qui ne figurent pas ne sont pas magiques. Ceci ne fournit pas une preuve (au sens habituel) du fait que 23 n'est pas magique. On voit que 71 est vachement magique.
[color=#000000] 11 -> [* <6, 3, 2> *] 24 -> [* <12, 6, 4, 2> *] 30 -> [* <15, 10, 3, 2> *] 31 -> [* <20, 5, 4, 2> *] 32 -> [* <18, 9, 3, 2> *] 37 -> [* <24, 8, 3, 2> *] 38 -> [* <20, 6, 5, 4, 3> *] 43 -> [* <15, 12, 10, 4, 2> *] 45 -> [* <20, 12, 6, 5, 2>, <18, 12, 9, 4, 2> *] 50 -> [* <24, 12, 8, 4, 2>, <15, 12, 10, 6, 4, 3> *] 52 -> [* <18, 12, 9, 6, 4, 3> *] 53 -> [* <30, 10, 6, 5, 2> *] 54 -> [* <42, 7, 3, 2> *] 55 -> [* <28, 14, 7, 4, 2> *] 57 -> [* <24, 12, 8, 6, 4, 3>, <20, 15, 10, 5, 4, 3> *] 59 -> [* <20, 18, 9, 5, 4, 3> *] 60 -> [* <18, 15, 10, 9, 6, 2> *] 61 -> [* <28, 21, 6, 4, 2> *] 62 -> [* <30, 20, 6, 4, 2>, <28, 14, 7, 6, 4, 3> *] 64 -> [* <40, 10, 8, 4, 2>, <30, 12, 10, 5, 4, 3>, <24, 20, 8, 5, 4, 3>, <20, 15, 12, 10, 5, 2> *] 65 -> [* <24, 15, 10, 8, 6, 2> *] 66 -> [* <36, 18, 6, 4, 2>, <28, 21, 12, 3, 2>, <20, 18, 12, 9, 5, 2> *] 67 -> [* <45, 9, 6, 5, 2>, <42, 12, 7, 4, 2>, <30, 20, 12, 3, 2>, <24, 18, 9, 8, 6, 2> *] 69 -> [* <35, 15, 14, 3, 2>, <28, 14, 12, 7, 6, 2> *] 71 -> [* <40, 10, 8, 6, 4, 3>, <36, 18, 12, 3, 2>, <33, 22, 11, 3, 2>, <24, 20, 12, 8, 5, 2>, <20, 15, 12, 10, 6, 5, 3>, <18, 15, 12, 10, 9, 4, 3> *] 73 -> [* <20, 18, 12, 9, 6, 5, 3> *] 74 -> [* <42, 12, 7, 6, 4, 3>, <30, 18, 10, 9, 5, 2> *] 75 -> [* <40, 15, 8, 5, 4, 3> *] 76 -> [* <48, 16, 6, 4, 2>, <28, 20, 14, 7, 5, 2>, <24, 15, 12, 10, 8, 4, 3> *] [/color] -
L'article de Graham est en pièce jointe
-
Salut Claude,
Il doit y avoir une coquille dans ton programme.
Tous les carrés sont des nombres magiques.
Par exemple:
$4=2+2$ et $1=2^{-1}+2^{-1}$
$9=3+3+3$ et $1=3^{-1}+3^{-1}+3^{-1}$
De manière générale :
$a^2=a.a$ et $1=aa^{-1}$
Al-Kashi -
@Al-Kashi
J'ai pris ``partition'' au sens de l'auteur R.L. Graham i.e. les entiers de la partition sont deux à deux distincts (cf les deux premières lignes de l'article attaché par Yan2), ce qui n'est pas ce qui est spécifié dans le premier post de Yan2. En clair, j'ai suivi R.L. Graham et pas Yan2. -
Vu, au temps pour moi.
Al-Kashi -
@Al-Kashi Cela change tout si l'on permet des partitions dans lesquelles il y a des répétitions. Ainsi 77 n'est pas magique au sens de R.L. Graham (résultat non publié de D.H. Lehmer comme on croit le comprendre dans le papier de Graham, Remarks p. 441). Par contre, 77 est magique au sens plus faible ; voici les 28 partitions $(a_1, a_2, \cdots)$ de 77 i.e. $a_1 + a_2 + \cdots = 77$ vérifiant $1/a_1 + 1/a_2 + \cdots = 1$
[color=#000000] [ [ 60, 5, 5, 4, 3 ], [ 36, 18, 12, 4, 4, 3 ], [ 35, 14, 6, 6, 6, 5, 5 ], [ 33, 22, 11, 4, 4, 3 ], [ 30, 18, 9, 5, 5, 5, 5 ], [ 30, 15, 12, 6, 5, 5, 4 ], [ 30, 12, 12, 10, 5, 4, 4 ], [ 28, 21, 6, 6, 6, 6, 4 ], [ 24, 20, 12, 8, 5, 4, 4 ], [ 24, 16, 16, 6, 6, 6, 3 ], [ 24, 9, 9, 9, 8, 6, 6, 6 ], [ 21, 21, 14, 6, 6, 6, 3 ], [ 21, 12, 12, 7, 7, 6, 6, 6 ], [ 20, 20, 12, 12, 5, 5, 3 ], [ 20, 15, 15, 15, 4, 4, 4 ], [ 20, 12, 12, 8, 8, 6, 6, 5 ], [ 20, 10, 10, 9, 9, 9, 6, 4 ], [ 18, 18, 18, 10, 5, 5, 3 ], [ 18, 18, 18, 8, 8, 4, 3 ], [ 18, 12, 12, 12, 12, 9, 2 ], [ 18, 12, 12, 10, 9, 6, 5, 5 ], [ 18, 12, 12, 9, 8, 8, 6, 4 ], [ 16, 16, 16, 16, 6, 4, 3 ], [ 16, 16, 9, 9, 9, 8, 6, 4 ], [ 15, 15, 15, 10, 10, 10, 2 ], [ 15, 15, 12, 12, 6, 6, 6, 5 ], [ 15, 12, 12, 12, 10, 6, 6, 4 ], [ 12, 12, 10, 10, 10, 10, 10, 3 ] ] [/color] -
Bien vu Claude. Merci !
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Bonjour!
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