Sur la somme $\sum_{p\leq x}f(p)$

Voir ici (ou ici pour le pdf). Les auteurs n'en disent pas grand-chose, de $f$ !

Le célèbre article de Rosser & Schoenfeld de 1962, très connu et utilisé en théoair analytique des nombres, avait un double objectif :

(i) Capitaliser les connaissances acquises par les auteurs durant les 20 années qui précèdent ce papier en matière d'estimations explicites des fonctions usuelles de nombres premiers ;

(ii) Utiliser les progrès récents, dus essentiellement à l'accroissements des performances des ordinateurs, concernant le nombre de zéros non triviaux de la fonction $\zeta$ de Riemann sur la droite critique.

Lorsque l'on lit cet article, les auteurs expliquent d'abord grosso modo ce qu'ils font :

Les premières pages indiquent l'utilisation de la sommation partielle pour passer des sommes du type $\displaystyle \sum_{p \leqslant y} f(p)$ aux estimations connues de $\pi(y)$ et/ou $\theta(y)$ et $\psi(y)$. La fonction $f$ est ici une fonction très régulière, disons de classe $C^2$ sur $\left[2 , + \infty \right[$ et dont elle et ses dérivées sont assez petites.

Ainsi, pour ne se concentrer que sur les termes principaux, l'utilisation du Théorème des Nombres Premiers (TNP) entraîne que
$$f(x) \left( \pi(x) - \textrm{Li} (x) \right) \ll \max \left| f(x) \right| \times x \, \exp \left( -c (\log x)^{3/5} (\log \log x)^{-1/5} \right)$$
où $c > 0$ (il existe maintenant de bonnes valeurs de $c$ connues. Voir articles de Ford du début des années 2000).

Ma compréhension du problème de l'espace de fonctions où on peut estimer $\sum_{p \le x} f(p)$

C'est qu'au départ le PNT donne que $|\sum_{p\leq x}f(p)-\int_{2}^{x}\frac{f(y)}{\log y}dy| \le C(f) \int_{2}^{x}\frac{|f(y)|}{\log^2 y}dy$ est vrai pour
$f (y) = \sum_{j=1}^J a_j y^{-s_j}$ et le PNT en progression arithmétique donne que c'est vrai pour $f$ de la forme $f (y) = \sum_{j=1}^J a_j e^{2i \pi b_j y} y^{-s_j}, b_j \in [0,1) \cap \mathbb{Q}$.

$f \mapsto C(f)$ est une semi-norme sur l'espace vectoriel $E = \{\sum_{j=1}^J a_j e^{2i \pi b_j y} y^{-s_j}, b_j \in [0,1) \cap \mathbb{Q}\}$ et $|\sum_{p\leq x}f(p)-\int_{2}^{x}\frac{f(y)}{\log y}dy| \le C(f) \int_{2}^{x}\frac{|f(y)|}{\log^2 y}dy$ reste vrai si $f =\lim_{n \to \infty} f_n, f_n \in E$, pour tout $[u,v], \|f_n - f\|_{L^1([u,v])} \to 0$ et $C(f_n) \to C(f)$.

Si on se restreint à $b_j = 0$ alors c'est faisable de trouver une description pratique de cette complétion.

Par contre avec $b_j \in [0,1) \cap \mathbb{Q}$ c'est assez chaud car $C(f)$ dépend du dénominateur des $b_j$ (les zéros de Siegel qui empêchent des bonnes estimations uniformes du PNT en progression arithmétique)

Et donc pour que la complétion ait une formulation simple il faut supposer l'inexistence des zéros de Siegel ?

Et si on suppose GRH on a truc du style $|\sum_{p\leq x}f(p)-\int_{2}^{x}\frac{f(y)}{\log y}dy| \le D(f) \int_{2}^{x}\frac{|f(y)| \log^2 y}{y^{1/2}}dy$, est-ce que la complétion de $E$ a une description simple et pratique ?