Somme de nombres irrationnels
dans Arithmétique
Bonjour à tous
Soit A=1+racine(2)+racine(3)+...+racine(n)
Avec n supérieur ou égal à 2.
Je voulais savoir si quelqu'un a une démonstration du fait que A est un nombre irrationnelle quelque soit n>1. Ou de l'inverse du coups
Si quelqu'un a une démonstration qu'il ne donne pas toute la démo mais plutôt les grandes idées !
Merci bcp beaucoup de votre attention.
Soit A=1+racine(2)+racine(3)+...+racine(n)
Avec n supérieur ou égal à 2.
Je voulais savoir si quelqu'un a une démonstration du fait que A est un nombre irrationnelle quelque soit n>1. Ou de l'inverse du coups
Si quelqu'un a une démonstration qu'il ne donne pas toute la démo mais plutôt les grandes idées !
Merci bcp beaucoup de votre attention.
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Réponses
Essaie une récurrence. Et pense à élever au carré.
Montre que $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Montre que $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ est irrationnel.
Ce n'est pas si facile. Je connais une méthode pour prouver que $S = 1 + \sqrt 2 + \sqrt {3} + \cdots + \sqrt {N}$ est irrationnel pour $N \ge 2$. Cette méthode permet d'étudier quelque chose de bien plus intéressant que l'irrationalité de $S$ (un résultat de type bof).
Ce quelque chose consiste à considérer $n$ entiers $a_1, \cdots, a_n \ge 2$, $a_i$ sans facteur carré, deux à deux premiers entre eux, et à étudier l'extension :
$$
K = \Q(\sqrt {a_1}, \sqrt {a_2}, \cdots, \sqrt {a_n})
$$
L'étude de $K/\Q$ demande un certain travail mais cela vaut le coup : théorie des corps et un zeste de théorie de Galois.
Soit n1, n2, n3 des entiers naturels non carrés alors
A = Racine(n1) + racine(n2) + racine(n3), on peut prouver que c'est un nombre irrationnel.
Pour 4 irrationnels de cette forme je ne sais pas faire. D'où l'idée de ma question.
Claude quitté aurais-tu un lien ?
La récurrence ne marche pas (ou plutot ne marche pas aussi simplement que j’ai pensé). C’est un exercice assez velu et effectivement la méthode de Claude Quitté est une des solutions.
Par ailleurs, je ne participe plus à ce fil car tu n’utilises pas des écritures lisibles. C’est ton droit. Mon droit est de ne pas participer.
Pas de lien sauf sur mes notes (une série d'exercices corrigés). Voici l'énoncé du premier exercice (sans le corrigé). Est ce que tu saurais faire ? Note : je n'ai pas spécialement envie de continuer car j'attache une certaine importance à la présentation des posts (TeX).
Peut-être que tu trouveras sur le net des pointeurs concernant l'extension $\Q(\sqrt {p_1}, \cdots, \sqrt {p_n})$ ? Cela doit être standard (de manière élémentaire, peut-être moins). Car c'est l'étude ce cette extension qui est importante. Et pas le fait que $1 + \sqrt 2 + \cdots + \sqrt {N}$ soit irrationnel. Note : il y a longtemps que je ne pratique plus les exercices pour les exercices ; je veux dire que j'apprécie tout particulièrement ceux qui touchent au structurel (of course, chacun fait ce qu'il veut, moi pareil).
Trouver une preuve "élémentaire" ne semble en effet pas si évident que cela.
Néanmoins, on peut traiter les premiers cas de la manière suivante.
Tout d'abord on prouve aisément que $\sqrt{2}$ est irrationnel.
On note $a_n\in\Q$
Si $a_1\sqrt{2}+a_2\sqrt{3}$ est rationnel alors en élevant au carré $2a_1a_2\sqrt{6}$ le serait.
Si $a_1\sqrt{2}+a_2\sqrt{3}+a_3\sqrt{5}=r$ est rationnel alors en écrivant $a_1\sqrt{2}+a_2\sqrt{3}=r-a_3\sqrt{5}$ et en élevant au carré, $2a_1a_2\sqrt{6}-2a_3r\sqrt{5}$ le serait. A nouveau en élevant au carré, $8a_1a_2a_3r\sqrt{30}$ serait rationnel.
Si $a_1\sqrt{2}+a_2\sqrt{3}+a_3\sqrt{5}+a_4\sqrt{6}=r$ est rationnel, on écrit alors $a_1\sqrt{2}+a_2\sqrt{3}=-a_3\sqrt{5}-a_4\sqrt{6}+r$, même histoire...
Cela ne fonctionne pas avec $a_1\sqrt{2}+a_2\sqrt{3}+a_3\sqrt{5}+a_4\sqrt{6}+a_5\sqrt{7}$
Al-Kashi
Je suppose Claude quitté que ton premier exercice est dans le lien de Guego. (car sinon je n'ai pas les compétences pour la théorie de Galois..)
Dans le lien de Guego je ne vois pas en quoi le fait que la famille soit linéairement libre sur Q prouve que le nombre A définit dans mon premier poste est irrationnel.
Si quelqu'un pouvait m'expliquer
le lien de Guego plus en détail cela serait extrêmement gentil.
Voici ma démonstration par récurrence.
On considère la somme $S=\sum a \sqrt{n}$ avec $a$ des entiers relatifs non nuls et $n$ des entiers naturels non nuls. On note $p_1,\cdots, p_k$ tous les diviseurs premiers des $n.$
On montre que $S=\sum b \sqrt{m}$ avec $b$ des entiers relatifs non nuls et $m$ des entiers naturels non nuls sans carrés, et des divieurs premiers $p$ des $m$ parmi les diviseurs premiers des $n.$ Il suffit d’écrire que $n=c^2 m$, càd de factoriser les premiers d’exposants pairs dans la décomposition en facteurs premiers.
On montre par une récurrence forte sur $k$, le nombre de facteurs premiers, que $S\neq 0$ sauf si tous les $b$ sont nuls.
Pour $k=0$, càd si $S\in \Z$, le résultat est immédiat.
Pour $k=1$, $S=b_1+b_2 \sqrt{p_1}=a+b\sqrt{p}$ pour alléger les notations. On forme $S’=-a+b\sqrt{p}$ et on calcule $SS’=-a^2+b^2 p\in \Z^*$. En effet, c’est bien un entier relatif et le premier $p$ apparaît un nombre pair de fois dans la décomposition en facteurs premiers de $a^2$ et un nombre impair de fois dans celle de $ b^2p$ : ces deux nombres ne peuvent pas être égaux. Puisque $SS’\neq 0$ alors $S\neq 0.$
On suppose que toute somme de la forme donnée est non nulle avec $p_1,\cdots,p_k$ : hypothèse de récurrence.
On considère la somme $S$ avec $p_1,\cdots,p_k,p$ (on note $p=p_{k+1}$).
On peut écrire $S=A+B \sqrt{p}$ avec $A,B$ des sommes associées à l’hypothese de récurrence.
On sait qu’il existe $B’$ telle que $BB’=b\in \Z^*$. On calcule $SB’=AB’+b\sqrt{p}$. On montre que la somme $C=AB’$ est également associée à l’hypothese de récurrence. On note $D=-C+b\sqrt{p}$ et on calcule $SB’D=-C^2+b^2p$. On montre que la somme $C^2$ est associée à l’hypothese de récurrence et donc aussi $SB’D=E$ puisqu’on ajoute l’entier $b^2p.$ Ici, il faut montrer que l’ajout de cet entier n’annule pas la somme. Or, si c’est le cas, c’est que $C$ est un entier et alors on a immédiatement que $SB’D\neq 0.$ On sait qu’il existe $E’$ telle que $EE’\in \Z^*$ et donc $SB’DE’\neq 0$ et donc $S\neq 0.$ Voilà !
Le rapport avec la choucroute est que si $\sum b \sqrt{m}=p/q$ est rationnelle, alors une somme de la forme $\sum b’ \sqrt{m}=0$ avec $b’=b q$ sauf pour le premier terme où $b’=b q-p$ et $m=1.$
Donc aucune somme non nulle $\sum b\sqrt{m}$ avec $m$ sans carré n’est rationnelle sauf si elle est un entier relatif càd si $m=1$.
Pour illustrer les notations sont $S=-11+\sqrt{12}=-11+2\sqrt{3}$ et si on ajoute un terme qui contient un nouveau facteur premier, on a $-11+2\sqrt{3}+\sqrt{60}=-11+2\sqrt{3}+2 \sqrt{3.5}=-11+2\sqrt{3}+2\sqrt{3} \sqrt{5}=A+B \sqrt{5}$ avec $A,B$ des sommes dont les diviseurs $p$ sont ceux de $S.$
Relis ma première ligne : l'indice $k$ porte sur le nombre de facteurs premiers parmi les $m.$
Le $k=0$ signifie qu'il n'y a pas de facteurs premiers dans les $m$. Les facteurs premiers sont $2,3,5,7,11,13, ...$. Donc la somme $S$ est de la forme $S=b_1 \in \Z.$ Si $b_1 =0$, alors $S=0$ : c'est le cas trivial où $S$ est rationnelle et nulle. Si $b_1 \neq 0$, alors $S \neq 0$ : c'est le cas où $S$ est rationnelle et non nulle.
Le $k=1$ signifie qu'il y a un seul facteur premier $p_1$ dans les $m$. Donc la somme est de la forme $S=b_1 + b_2 \sqrt{m_2}$ avec $m_2 \neq 0$ (sinon on n'auriat pas $p_1$) et $m_2=p_1$ pusque $p_1$ est le seul facteur premier de $m_2.$ Donc $S$ est de la forme $S=b_1+b_2 \sqrt{p_1}.$
Prenons un exemple $S = \sum a \sqrt{n}$ avec $a \in \Z^*, n \in \N^*$ : $S = -11+\sqrt{8} + \sqrt{38} + 2 \sqrt{81}.$
On transforme en $S = \sum b \sqrt{m}$ avec $b \in \Z^*, m \in \N^*$ et $m$ sans carré : $S = -11 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2.19} +2.9 = 7+2 \sqrt{2} +\sqrt{2.19}.$
On a donc : $a_1=-11, a_2=1, a_3=2$, $n_1=1, n_2=8, n_3=38, n_4=81.$ Les facteurs premiers sont $p_1=2, p_2=19, p_3=3.$
On a donc : $b_1=7, b_2=2, b_3=1$ et $m_1=1, m_2=2, m_3=2.19.$ Les facteurs premiers sont $p_1=2, p_2=19$ qui sont bien parmi $p_1=2, p_2=19, p_3=3.$
Exp S=racine(3)+racine(7*11)
Ce qui est beau avec les mathématiques, c'est cette forte envie de résoudre un problème et de l'exposer... :-D
Al-Kashi
L’hypothese de récurrence sur $k$ est : Toute somme de la forme $\sum b \sqrt{m}$ avec $b$ entiers relatifs non nuls, $m$ entiers naturels non nuls sans carré ($m=1$ est permis) et AU PLUS $k$ premiers parmi les diviseurs des $m$ est non nulle.
On traite $k=0$...
On traite $k=1$... qui est l’initialisation.
On suppose que c’est vrai pour toute somme avec $u$ premiers tels que $1\leq u\leq k$.
Et on démontre que c’est vrai pour toute somme avec $k+1$ premiers.
On écrit $S=A+B\sqrt{p}$ où $p$ est le nouveau facteur premier. Et on déroule la récurrence.
On se fout des valeurs des premiers. La récurrence porte sur LEUR NOMBRE.
Enfin, si tu te trompes : $S$ peut contenir le terme $\sqrt{2.3.17.23}$. Les $m$ ne sont pas nécessairement premiers : ils ne contiennent pas de carré. Et je ne réponds plus puisque mettre un signe dollar pour écrire lisiblement est au-dessus de tes forces.
On n'a jamais dit que ce fait seul montrait que le nombre en question est irrationnel. Il y a une démonstration de l’irrationalité, comme corollaire de ce résultat, à la fin du document partagé par Guego.
Bonjour Yves,
N'ayant pas réussi à trouver une preuve "élémentaire", je me rabats sur la tienne.
Ce passage ne me semble pas clair,ou peut être que quelque chose m'échappe, pourquoi si $C^2=b^2p$ alors $C$ serait un entier ?
Par exemple, $\sqrt{20}^2=2^2*5$.
Al-Kashi
Je crois comprendre que, pour toi, cela ne passe pas comme prévu (?). Je me permets d'en remettre une couche concernant ma suggestion. Cf également le post de Poirot et surtout le post de Guego ainsi que pdf qui est attaché. Ma suggestion, c'était de laisser tomber la somme $\sqrt 1 + \sqrt 2 + \cdots + \sqrt N$. Ou n'importe quelle autre somme avec des racines carrées. Tu vas certainement penser que je n'y connais rien car ``les autres'' justement étudient ces sommes (sauf le pdf pointé par Guego qui commence par le coeur du truc).
Faire quoi alors ? Considérer $n$ premiers distincts $p_1, \cdots, p_n$ et la $\Q$-extension $K = \Q(\sqrt {p_1}, \cdots, \sqrt {p_n})$. Ce n'est pas un objet compliqué et j'ai eu tort de parler d'un ``zeste de théorie de Galois''. Pas ici. Et montrer quoi ? Que la famille des $2^n$ racines carrées $\pi_I$ où $I$ décrit toutes les parties de $\{1, 2, \cdots, n\}$
$$
\pi_I = \prod_{i \in I} \sqrt {p_i} \quad \hbox {est une $\Q$-base de $K$} \qquad \qquad \qquad
(\hbox {à noter qu'en particulier $p_\emptyset = 1$)}
$$
C'est bien sûr ce qui est écrit dans le pdf attaché par Guego. Mais dire deux fois la même chose n'est pas à mon avis nuisible car c'est le point le plus important : une $\Q$-base, c'est du solide, je t'assure (et je me permets d'ajouter que je connais deux ou trucs dans le métier). Ensuite, les fameuses sommes s'écriront toutes seules dans cette $\Q$-base. Si, si, je t'assure (bis).
@Al-Kashi :
La somme $C$ est un produit de deux sommes $A$ et $B'$. Ces sommes sont de la forme $\sum b \sqrt{m}$ avec $b$ entiers relatifs non nuls, $m$ entiers naturels non nuls et SANS CARRE, et dont les facteurs premiers sont dans $p_1, ..., p_k.$
Il suffit d'écrire $U = \sum_{u=1}^U b_u \sqrt{m_u}$ et $V = \sum_{v=1}^V b'_v \sqrt{m'_v}$ pour calculer le produit $UV = \sum_{u=1}^U \sum_{v=1}^V b_u b'_v\sqrt{m_u}\sqrt{m'_u} = \sum_{w=1}^W b''_w \sqrt{m''_w}$ avec les facteurs premiers dans $p_1, ..., p_k.$
Autrement dit, le produit de deux sommes qui vérifient les hypothèses est une somme qui vérifie les hypothèses, non ?
On en déduit que $C=AB'$ vérifie les hypothèses.
On en déduit aussi que $C^2=CC$ vérifie les hypothèses.
Donc $C^2 = \sum_{w=1}^W b''_w \sqrt{m''_w}$ avec les facteurs premiers dans $p_1, ..., p_k.$ Si $C^2$ est un entier, tous les $b''_w$ sont nuls sauf $b_1=1$ associé à $m_1=1$, mais alors tous les $b_u=b'_v$ sont nuls sauf $b_1$ : la somme $C$ est alors un entier. Voilà !
Je te rejoins qu'il est bien évident que la preuve du pdf joint par Guego est beaucoup plus intéressante et comme tu l'as bien dit repose sur quelque chose de plus structurel.
Néanmoins, une petite preuve élémentaire, pour nos lycéens par exemple, serait agréable pour ce genre d'exercice.
Al-Kashi
Al-Kashi
Bonjour Yves,
Dernier truc que je ne comprends pas, c'est pourquoi $b_1=1$ ? N'est-ce pas plutôt $b_1=C^2$ ?
Al-Kashi
Je reprends.
Al-Kashi
Du coup je ne comprends pas ce passage, puisque tu parles d'abord des $b^{''}$ puis de $b_1$.
Al-Kashi
Vraiment ? On a $C = \sum b \sqrt{m}$ et donc $C^2 = \sum \sum b b' \sqrt{m m'} = \sum b'' \sqrt{m''}.$ Si $C^2$ est un entier et puisque les premiers sont dans $p_1,..., p_k$, alors l'hypothèse de récurrence dit la somme $C^2$ ne peut pas être rationnelle sauf tous les facteurs $b''$ sont nuls (sauf celui associé à $m''=1$). On a donc $C^2 = b''_1 = b_1 b'_1 = 0$ et donc $b_1=b'_1=0.$
Par exemple $C = b + a \sqrt{p}$, $C^2 = b^2 + a^2 p + 2 a b \sqrt{p}.$ Si $C^2$ est un entier, l'hypothèse de récurrence dit que nécessairement, le coefficient $2 a b = 0$ : si $a=0$, alors $C=b$ est un entier. Si $b=0$, alors $C^2=a p^2$ est un entier, alors la quantité $C^2 + c \sqrt{q}$ est non nulle (démonstration de l'initialisation).
Le point nécessaire et suffisant dans la récurrence est de démontrer que si $C$ est une somme qui vérifie l'hypothèse, alors $C^2$ est aussi une somme qui vérifie l'hypothèse. C'est évident, non ? Pour ne pas vérifier l'hypothèse, il faudrait que l'élévation au carré fasse appraître un nouveau facteur premier !!
Donc après avoir dit $b_1=1$ tu dis que $b_1=0$, et cela ne me semble toujours pas correct. Si on note $C=\sum b_u\sqrt{m_u}$ on a alors $C^2=(\sum b_u\sqrt{m_u})^2$.
De manière générale, Il me semble qu'on ne peut rien dire des coefficients devant les radicaux car ceux-ci sont des combinaisons linéaires des produits $b_ub_v$.
Si ce n'est pas clair, par exemple si on prend $C=r+a\sqrt{6}+b\sqrt{10}+c\sqrt{21}+d\sqrt{35}$ le calcul de $C^2$ fait apparaître un terme $\sqrt{210}$ dont le coefficient est $2ad+2bc$. Sachant que les coefficients sont dans $\Z$ on pourrait ici juste conclure que $ad+bc=0$
Le seul coefficient pour lequel on a quelque chose d'évident est celui associé à $\sqrt{1}$
C'est clairement $\sum m_ub_u^2$ et on aurait $C^2=\sum m_ub_u^2$ et là je ne vois pas ce que l'on peut dire de plus.
Al-Kashi
As-tu compris ce que l’on cherche à démontrer ?
On cherche à démontrer que si $C$ est une somme de la forme $\sum b \sqrt{m}$ avec $p_1,..., p_k$ premiers qui apparaissent dans la décomposition de ma $m$, alors $C^2$ est une somme de la même forme avec des premiers qui sont parmi les $p_1,...,p_k.$
C’est tellement évident qu’il suffit de l’écrire pour le démontrer.
Puis c’est l’hypothèse de récurrence qui garantie que cette somme n’est pas un rationnel, et donc n’est pas un entier, sauf si tous ces coefficients sont nuls sauf celui du début de la somme : $b_1$ associé à $m_1=1.$
Quand on ajoute un entier à une telle somme, elle ne peut s’annuler que si tous les coefficients devant les racines sont nuls... et elle est donc un entier.
Donc quand on arrive à la quantité $-C^2 + b^2 p$, il faut établir qu’elle n’est jamais nulle.
Cette somme est de la forme $b_1+\sum a \sqrt{m}+b^2 p$ avec $p_1,..., p_k,p$ tous les premiers dans la somme, MAIS seuls $p_1,...,p_k$ divisent les $m.$ On a aussi $b\neq 0$ car on a supposé une somme qui introduit le nouveau premier $p.$
Comme $b^2p$ est un entier, il s’ajoute à $b_1$ est la quantité est : $b_1-b^2 p +\sum a \sqrt{m}$ : par hypothèse de récurrence, c’est bien une somme de la bonne forme ET dont les diviseurs premiers sont parmi $p_1,...p_k$ : elle n’est pas rationnelle sauf si tous les coefficients sont nuls. Le premier coefficient est donc nul et tous les autres aussi. Tous les autres nuls signifient que, dans $C$ il n’y pas de coefficients non nuls devant les racines : $C $ est donc un entier. Et voilà !
Prenons des exemples :
- Pour $C^2=2$ et donc $C=\pm \sqrt{2}.$ On a rien à démontrer puisque $C^2$ est entier et donc $-C^2+b^2p$ n’est pas nul (le facteur premier $p$ apparaît un nombre pair de fois dans $C^2$ et impair dans $p b^2$).
- Pour $C^2=3+2 \sqrt{2}$, si on ajoute un entier, le résultat ne peut pas s’annuler : le coefficient de $\sqrt{2}$ est non nul. Pour que $\sqrt{2}$ soit dans $C^2$, il faut qu’il soit dans $C$ donc $C=a+b \sqrt{2}$ avec $b\neq 0$. L’ajout d’un entier à une somme qui contient un $\sqrt{2}$ ne peut pas annuler cette somme : c’est évident, non ?
Bref, je te laisse travailler dessus.
Voici une autre méthode pour montrer que $-C^2+b^2 p \neq 0$ par contradiction.
On suppose que $-C^2+b^2 p=0.$
On calcule alors $C=\pm b \sqrt{p}.$
Mais alors le premier $p$ fait partie des diviseurs premiers dans la somme $C.$ On a, par définition, $C=AB’$ avec $A,B’$ des sommes dont les diviseurs premiers sont dans $p_1,...,p_k$ : contradiction.
C’est plus facile à rédiger comme ça !!
Encore une fois il y a ici un argument incorrect. En effet le fait d'avoir par construction un nombre $C$ qui est construit à partir des $p_k$ n'implique pas que l'on ne peut pas écrire $C=b\sqrt{p} $.
Merci pour toutes tes précisions, mais à mon humble avis la 'preuve' que tu proposes n'est pas correcte..
Al-Kashi
@Al-Kashi : tu as raison, cette seconde méthode n’est pas valide. Mais la première est valide.
Dis-moi ce que tu contestes dans ceci :
1. On note $C =\sum b \sqrt{m}$ avec $b$ des entiers relatifs non nuls, $m$ des entiers naturels non nuls sans carré, et les facteurs premiers des $m$ sont $p_1,...,p_k$ avec $k$ un entier.
2. On affirme que $C^2$ est de la même forme.
3. On fait l’hypothese de récurrence (forte) : toute somme de la forme $C$ avec ces mêmes $k$ premiers est non nulle sauf si tous les coefficients sont nuls.
4. On note $p=p_{k+1}$ un premier différents des $k$ premiers. On affirme que, par l’hypothese de récurrence, $-C^2+b^2 p$ est non nulle, avec $b \in \Z^*$.
Preuve :
5. La quantité $-C^2+b^2 p$ est de la forme décrite dans l’hypothese de récurrence. Elle est non nulle sauf si tous les coefficients sont nuls.
6. Tous les coefficients nuls signifient tous les coefficients devant les racines sont nuls. Si tel est le cas, alors $C$ est un entier. En effet, $C^2=(\sum b \sqrt{m})^2=\sum b^2 m+ \sum_i \sum_{j \neq i} b_i b_j \sqrt{m_i m_j}.$ Lorsque tous les $b_i b_j=0, j\neq i$ on a que deux solutions :
a) $C$ est un entier.
b) $C$ est proportionnel à une racine.
En effet, s'il existe au moins deux coefficients non nuls dans la somme $C$, alors les notant $a, b$ on aurait $ab \neq 0$ : contradiction. On déduit donc que la somme $C$ possède au plus un seul coefficient.
7. Si $C$ est a) ou b), alors $C^2$ est un entier et alors $-C^2+b^2 p\neq 0$ puisque, si $C \neq 0$, $p$ apparaît un nombre de fois pair dans $C^2$ et impair dans $b^2 p$ ; et si $C = 0$, $b^2 p \neq 0.$
8. Voilà !
la famille $(\sqrt m ),\ m$ parcourant les entiers non carrés est libre dans $\Q$.
Donc si $$\sum_{i=1}^n \sqrt{i}=\beta$$ pour que $\beta$ soit un réel irrationnel ($ n$ étant supérieur à 2) il faut exprimer $\beta$ en fonction d'une racine carrée sans qu'il soit un carré par exemple pour le cas où on prend 3 entiers naturels.
Soient $\alpha$, $\beta$, $\gamma,$ 3 entiers naturels et qui ne sont pas des carrés (différents deux à deux), avec $\alpha < \beta < \gamma$.
Alors si
$ \sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}+ \sqrt{\gamma} =A,$ avec $A$ étant un entier rationnel, alors on prouve assez facilement que $A= \sqrt{ -\alpha + \beta+ \gamma} .$
Et donc on arrive à l'égalité suivante $\ \sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}+ \sqrt{\gamma} - \sqrt{ -\alpha + \beta+ \gamma} = 0. $
Or d'après le lien de Guego, ceci est impossible car la famille $( \sqrt m ),\ m$ parcourant les entiers non carrés est libre dans $\Q$.
Mais si $m= - \alpha +\beta +\gamma $ est un entier naturel qui est un carré par exemple on pose $\alpha=2,\ \beta=20$ et $\gamma=7 .$ On voit que $A=5$ et comment fait-on dans ce cas précis pour utiliser le théorème ?
Ici il est évident que l'égalité ne peut se produire mais dans le cas où on prend 10 entiers naturels je ne vois pas du tout comment utiliser le fameux théorème.
[Ce serait sympa pour le lecteur que tu te relises avant d'envoyer. AD]
$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}}= \beta$ alors
$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \beta \sqrt{6}}{\sqrt{6}} =0$
et donc comme le coef de $\sqrt 2$ par exemple est non nul et que $\beta$ est un rationnel l'équation n'est pas possible d'aprés le théorème mais car là on a trouvé une combinaison linéaire pour utiliser le théorème comment trouver une combinaison linéaire pour l'exemple de ci-dessus ? Je ne sais pas si je suis plus clair avec cet exemple.
[En $\LaTeX$, c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. AD]
Pour utiliser le théorème il faut transformer l’équation $\sum_{i=1}^n a_i \sqrt{i}=b$ puisque les nombres dans les racines ne doivent pas avoir de carré. Or $i=4=2^2$ est un carré et $i=8=2.2^2$ possède un carré.
Pour tout nombre $i$, on peut ecrire $i=b_i m_i^2$ avec $b_j,m_j$ deux entiers et $b_j$ sans carré : à démontrer.
La somme devient $\sum_{i=1}^n a_i b_i\sqrt{m_i}$ que l’on simplifie en $\sum b \sqrt{m}$ avec $b$ entiers relatifs et $m$ sans carré. A présent, le théorème s’applique sur cette somme.
Tu devrais écrire $S_n=\sum_1^n \sqrt{i }$ pour $n=1,..., 20$ pour comprendre la forme requise.
Puis-je poser une question ?
J'ai l'intuition qu'on peut prouver $\sum_{i=1}^N \sqrt{i}$ est irrationnel, peut-on prouver $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ l'est aussi avec au moins $a,b$ ou $c$ sans facteurs carré. Ici sans ordre.
En lien peut- être un peu compliqué et je n'ai pas compris le message Sheshe123
Merci.
Je ne comprends toujours pas décidément. $$
\sum_{i=1} ^n \sqrt{i} = \text{ Un entier naturel}+ \text{une somme de racines}.
$$ Tu dis que tout entier naturel s'écrit sous la forme $n=b_i(m_i)^2$ avec le nombre $b_i$ sans carré mais par exemple $4=1\times 2^2$ et à se que je sache 1 est un carré.
Par définition, on considère que $1$ ne possède pas de carré.
Car si dans le théorème il le considère sans que ce soit un carré, alors effectivement c'est trivial !!
Admettre une définition est une bonne chose.
Tu commences par écrire $S_n=\sum_{i=1}^n \sqrt{i}$ pour $n=1,...,20.$
Tu démontres que $1+\sqrt{2}$ n’est pas rationnel.
Tu démontres que $a+b \sqrt{p}=0\implies a=b=0$ avec $a,b$ deux entiers relatifs et $p$ premier.
Tu utilises ce résultat pour démontrer que $\sqrt{p}$ avec $p$ premier est irrationnel.
Tu lis ma démonstration par récurrence.
> Tu démontres que $1+\sqrt{2}$ n’est pas rationnel.
> Tu démontres que $a+b \sqrt{p}=0\implies a=b=0$ avec $a,b$ deux entiers relatifs et $p$ premier.
La seconde proposition n'impliquerait pas la première ?