n tel que r0(n) est pgcd des r_i(n)
dans Arithmétique
Bonjour,
Sous la conjecture de Goldbach, notons pour $ n $ composé $ r_{0}(n) : =\inf\{r>0,(n-r,n+r)\in\mathbb{P}^{2}\} $, et $ r_{i+1}(n) : =\inf\{r>r_{i}(n),(n-r,n+r)\in\mathbb{P}^{2}\} $. Soit $ d_{n} $ le PGCD de tous les $ r_{i}(n) $. On dira que $ n $ est un conservateur primoradial si $ r_{0}(n)\mid d_{n} $, et un conservateur primoradial maximal (en abrégé CPM) si $ r_{0}(n)=d_{n} $.
Si $ n $ est un CPM, a-t-on nécessairement $ d_{n}\mid 6 $? Y a-t-il une infinité de CPM ?
Sous la conjecture de Goldbach, notons pour $ n $ composé $ r_{0}(n) : =\inf\{r>0,(n-r,n+r)\in\mathbb{P}^{2}\} $, et $ r_{i+1}(n) : =\inf\{r>r_{i}(n),(n-r,n+r)\in\mathbb{P}^{2}\} $. Soit $ d_{n} $ le PGCD de tous les $ r_{i}(n) $. On dira que $ n $ est un conservateur primoradial si $ r_{0}(n)\mid d_{n} $, et un conservateur primoradial maximal (en abrégé CPM) si $ r_{0}(n)=d_{n} $.
Si $ n $ est un CPM, a-t-on nécessairement $ d_{n}\mid 6 $? Y a-t-il une infinité de CPM ?
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Réponses
De même si $ n $ est impair multiple de $ 3 $, tous ses rayons de primalité sont de la forme $6k+2 $ ou $ 6k+4 $.
Enfin si $ n $ est multiple de $ 6 $ , ses rayons de primalité sont impairs et premiers avec $ 3 $. Reste à prouver qu'alors $ d_{n} =1 $.
Si une réponse positive peut être apportée à chacune des deux questions du premier message de ce fil, on pourra envisager de montrer que les CPM $ n $ tels que $ d_{n} =1 $ ont une densité strictement positive dans l'ensemble des CPM.