Développement asymptotique de $1/\ln\pi(x)$
Bonjour tout le monde. Je voudrais savoir est-ce qu'il existe des développements asymptotiques (ou des articles qui traitent ce problème) des fonctions suivantes. $$
\frac{1}{\pi(x)},\ \frac{1}{\ln(\pi(x))},\ \frac{1}{\text{Li}(x)} \ \text{et} \ \frac{1}{\ln\text{Li}(x)},
$$ sachant que $\pi(x)$ est la fonction qui compte le nombre de nombres premiers et $$
\text{Li}(x)=\int_{2}^{x}\frac{1}{\ln(t)}dt.
$$ Merci d'avance.
\frac{1}{\pi(x)},\ \frac{1}{\ln(\pi(x))},\ \frac{1}{\text{Li}(x)} \ \text{et} \ \frac{1}{\ln\text{Li}(x)},
$$ sachant que $\pi(x)$ est la fonction qui compte le nombre de nombres premiers et $$
\text{Li}(x)=\int_{2}^{x}\frac{1}{\ln(t)}dt.
$$ Merci d'avance.
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Réponses
\ln\text{Li}(x)=\ln(x)-\ln\ln(x)+\ln\Big(1+\frac{1}{\ln(x)}\Big)=\ln(x)-\ln\ln(x)+\frac{1}{\ln(x)}+O\Big(\frac{1}{\ln(x)^2}\Big).
$$ Merci de m'expliquer l'étape suivante.
permet de dire que $\ln Li(x) = \ln\big( \frac{\log x}{x}\big)-\ln\Big(1 + \frac{1}{2 \log x} + o\big(\frac{1}{\log(x)}\big)\Big)$ et le dernier terme se manipule ne pose avec $\ln(1+t) = 1-t+O(t^2)$ quand $t \to 0$
Pour passer du développement asymptotique de $f(x)$ à $1/f(x)$ l'idée est la même : trouve un équivalent simple $h$ de $f$ et regarde $\frac{1}{h(x)} \frac{1}{1+u(x)}$ où $u(x) = \frac{f(x)}{h(x)} -1 \to 0$ donc $\frac{1}{1+u(x)} = 1-u(x)+O\big(u(x)^2\big)$