Équations de Pell-Fermat

Gilles old
Gilles old
dans Arithmétique
En travaillant sur les équations de Pell-Fermat, je suis tombé sur une "curiosité".

Donner une solution de $x^2-87111111111111111111111111111111y^2=1$ (avec 30 fois le chiffre "$1$"), où $x$ et $y$ sont entiers.

Réponses

  • claude quitté
    claude quitté
    $x = \pm 1$, $y=0$.
  • Poirot
    Poirot
    @Gilles : il va falloir que tu précises un peu, puisque ton équation a une infinité de solutions. À quel niveau se situe la "curiosité" ?
  • Gilles old
    Gilles old
    L'équation possède une infinité de solution certes, j'en demande ne serait-ce qu'une, non triviale.

    Si 30 fois "1" ne résiste pas à la force brute, recommencer avec 10 000.
  • claude quitté
    claude quitté 
    [color=#000000]
> x := 4*7 * 10^15 ;
> x ;
28000000000000000
> y := 3 ;
> d ;
87111111111111111111111111111111
> x^2 - d*y^2 ;
1

> Factorization(d) ;                           
[ <3, 2>, <97, 1>, <281, 1>, <809, 1>, <839, 1>, <26701, 1>, <67819, 1>, <159407, 1>, <1812409, 1> ]
[/color]
  • Gilles old
    Gilles old
    Et pour $d=8711...11$ avec 30 000 fois le nombre $1$ ? Bon alors disons 1 milliard de fois pour être tranquille.
  • JLT
    JLT
    Plus généralement, soient $x=(9k+1)10^n$, $y=3$ et $a=(9k^2+2k)10^{2n}+\frac{10^{2n}-1}{9}$, alors $x^2-ay^2=1$.
  • Gilles old
    Gilles old
    JLT, tu as oublié aussi les solutions avec $-$ :

    Plus généralement, soient $x=(9k\pm 1)10^n$, $y=3$ et $a=(9k^2\pm 2k)10^{2n}+\frac{10^{2n}-1}{9}$, alors $x^2-ay^2=1$.
  • Gilles old
    Gilles old
    J'ai essayé de trouver des $x,y,d$ tels que les solutions s'obtiennent en ajoutant une séquence de chiffres à droite de $x$ et $d$ (ici respectivement 0 et 1), mais je ne pense pas que cette séquence puisse avoir au moins 2 chiffres, car le seul repunit qui est un carré est 1, et je ne pense pas non plus que la séquence de $d$ puisse être composée d'autre chose que de 1 car si c'était des "$c$" on obtiendrait $x^2-dy^2=c$.
  • Gilles old
    Gilles old
    Voici les autres familles que j'évoquais :
    • Si $x=(9k\pm 4 )10^n$, $y=3$ et $a=(9k^2\pm 8k+1)10^{2n}+7\cdot \frac{10^{2n}-1}{9}$, alors $x^2-ay^2=7$.
      Par exemple : $(13;18)$, $(130;1877)$, $(1300;187777)$... $(5;2)$, $(50;277)$, $(500;27777)$...
    • Si $x=(9k\pm 3 )10^n$, $y=3$ et $a=(9k^2\pm 6k)10^{2n}+9\cdot \frac{10^{2n}-1}{9}$, alors $x^2-ay^2=9$.
      Par exemple : $(6;3)$, $(60;399)$, $(600;39999)$... $(12;15)$, $(120;1599)$, $(1200;159999)$...
    • Si $x=(9k\pm 2 )10^n$, $y=3$ et $a=(9k^2\pm 2k)10^{2n}+4\cdot \frac{10^{2n}-1}{9}$, alors $x^2-ay^2=4$.
      Par exemple : $(7;5)$, $(70;544)$, $(700;54444)$... $(11;13)$, $(110;1344)$, $(1100;134444)$...
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