Petite intrigue chez des petits entiers

Rebonjour à tous,

Oui JLT, je n'ai pas précisé, désolé. On complète éventuellement l'écriture à quatre chiffres avec des 0 commençants.

On peut se ramener à ne tester qu'une trentaine de cas (ce qui sous entend qu'une résolution par tests exhaustifs n'est pas ce que j'appellerais "élégante").

Ce que je cherche c'est une solution à ce problème qui minimiserait encore davantage le nombre d'images à calculer par $f$.

PS 1
Je sais bien qu'"élégante" ne veut rien dire, je sais bien que les petits programmes qu'on écrit pour faire les tests exhaustifs peuvent être vus comme des preuves (quitte à faire imprimer l'ensemble des calculs), je fais donc confiance à votre sens de l'esthétisme mathématique pour comprendre ce que je cherche

PS 2
Merci Citrodin pour la référence (même si la page ne fournit pas ce que j'attends).

Peut-être que j'ai mal suivi ce que vous dites mais si je note $\left[a;b;c;d\right]=10^{3}a+10^{2}b+10c+d$, alors $\left[a;b;c;d\right]-\left[d;c;b;a\right]=999\left(a-d\right)+90\left(b-c\right)$. Lorsque $a\geqslant b\geqslant c\geqslant d$, cette différence est nulle si et seulement $a=d$ et $b=c$. Mais l'ordre implique alors que $a=b=c=d$.

100 - 10 = 90

Bonjour,

Je n'ai pas compris là où ton raisonnement raccourcit ce que j'ai dit mais ça n'est pas important.

Soient $a,b,c,d$ quatre entiers initiaux entre 0 et 9 classés par ordre décroissant. On pose $A=a-d\in\{0,\dots,9\}$ et $B=b-c\in\{0,\dots,9\}$. On a $A\geqslant B$. Tout entier $n$ qui s'écrit à l'aide de ces 4 chiffres initiaux (non nécessairement dans cet ordre), a une image qui est combinaison entière de $A$ et $B$. Le nombre de couples $(A;B)$ décrits précédemment est d'au plus $10+\dots+1=55$. Donc il y a au plus 55 images après un tour du processus décrit.
L'application à étudier n'est donc pas de $\{(0;0;0;0),\dots,(9;9;9;9)\}$ dans lui même mais d'un ensemble à 55 éléments dans lui même, ce qui, informatiquement parlant, n'a plus rien à voir. En raisonnant un peu (je te laisse voir pourquoi, on peut se ramener à 31 couples).

Par exemple, les entiers $5437;9587;4010$ (liste largement non exhaustive) ont tous la même image puisqu'ils correspondent à $A=4$ et $B=1$ et ont donc pour image entière $999A+90B=4086$ ce qui redonnera comme nouveau couple image $(A';B')=(8-0;6-4)=(8;2)$.

u = lambda n : sorted([int(c) for c in (4-len(str(n)))*'0'+str(n)])[::-1]
c = lambda t : sorted([t[0]-t[-1],t[1]-t[2]])[::-1]
f = lambda t : c(u(999*t[0]+90*t[1]))
[[([u,v],f([u,v])) for v in range (u+1)] for u in range (10)]

Cela permet d'afficher chaque couple $(A,B)$ et son image et qui montre qu'au plus 55 images sont à calculer pour s'en sortir.