Suite de Fibonacci et inverse modulaire

Al-Kashi
Al-Kashi
dans Arithmétique
Arithméticiens, arithméticiennes,

On note $(F_k)_{k\in\N}$ la suite de Fibonacci définie par $F_0=1$, $F_1=1$ et $F_{k+2}=F_{k+1}+F_k$.
Si $a$ et $b$ sont deux entiers premiers entre eux, on note $0<(a^{-1})_b<b$ l'inverse modulaire de $a$ modulo $b$.

a) Démontrer que pour $n\in\N^*$ $(F_{2n}^{-1})_{F_{2n+1}}=F_{2n}$.
b) Démontrer que pour $n\in\N^*$ $(F_{2n-1}^{-1})_{F_{2n}}=F_{2n-2}$.

Al-Kashi

Réponses

  • Gilles old
    Gilles old
    N'aurais-tu pas oublié un $-1$ dans les formules ?

    Formule de Cassini : $F_{a+1}F_{a-1}-F_a^2 = (-1)^a$.

    En faisant $a=b=2n$ on a $F_{2n+1}F_{2n-1}-F_{2n}^2 = 1$, donc $F_{2n}^2 \equiv -1 \bmod F_{2n +1}$

    Pour la seconde j'obtiens $F_{2n-1}^2 \equiv 1 \bmod F_{2n}$, ce qui donne un joli inverse : lui-même. En écrivant $F_{2n-1}=F_{2n}-F_{2n-2}$, il vient $F_{2n-1}F_{2n-2} \equiv -1 \bmod F_{2n}$.
  • Gilles old
    Gilles old
    Plus simplement, d'après la formule de Cassini, $F_k^2=(-1)^{k+1}+F_{k-1}F_{k+1} \equiv (-1)^{k+1} \mod F_{k+1}$.
    En faisant :
    • $k=2n$, tu as la première formule ;
    • $k=2n-1$ et en utilisant $F_{2n-1}=F_{2n}-F_{2n-2}$, tu as la seconde.
  • Al-Kashi
    Al-Kashi
    Bonsoir Gilles.
    Pour aller plus loin, en déduire le résultat de la somme : $$


    \sum \limits_{k=0}^{m}\dfrac{(-1)^k}{F_{k}F_{k+1}}.


    $$ Al-Kashi
  • Al-Kashi
    Al-Kashi
    Au passage j'ai choisi $F_0=1$ c'est ce qui explique le décalage d'indice .

    Al-Kashi
  • Gilles old
    Gilles old
    Pardon, je n'avais pas vu le changement des termes initiaux.

    En utilisant encore Cassini pour remplacer le $(-1)^k$, je trouve une somme télescopique qui vaut $\frac{F_m}{F_{m+1}}$.
  • Chaurien
    Chaurien
    Mieux vaudrait adopter la définition universellement reconnue : $F_0=0, F_1=1$.
  • Gilles old
    Gilles old
    C'est bien mon avis aussi.

    Le seul avantage de cette convention c'est l'interprétation combinatoire, je pense notamment à celle par les pavages démocratisée par Quinn et Benjamin.
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