Entiers premiers entre eux

Zakariyae · January 2019

Salut à tous,

Quelqu'un peut m'expliquer la différence entre:
- Les entiers $a, b, c, d$ sont premiers entre eux dans leur ensemble;
- Les entiers $a, b, c, d$ sont premiers entre eux;
- Les entiers $a, b, c, d$ sont premiers deux à deux.

Merci d'avance

Math Coss · January 2019

Les entiers $a$, $b$, $c$, $d$ sont premiers entre eux ou, ce qui est plus explicite, premiers entre eux dans leur ensemble, si leur pgcd vaut $1$ ; cela signifie qu'il existe $u$, $v$, $w$, $x$ entiers tels que \[au+bv+cw+dx=1.\]
Les entiers $a$, $b$, $c$, $d$ sont premiers entre eux deux à deux» si deux quelconques d'entre eux sont premiers entre eux ; plus explicitement, $a\wedge b=1$, $a\wedge c=1$, $a\wedge d=1$, $b\wedge c=b\wedge d=1$ et $c\wedge d=1$.

D'évidence, si $a$, $b$, $c$ et $d$ sont premiers entre eux deux à deux, ils sont premiers entre eux dans leur ensemble.

La réciproque est fausse en général. Par exemple, $6$, $15$, $10$ et $150$ sont premiers entre eux dans leur ensemble mais pas deux à deux.

lourrran · January 2019

La 2ème phrase est ambigüe. On ne sait pas si elle a la signification n°1 ou n°3. On ne devrait jamais l'utiliser, sauf si le contexte est très clair.
La 1ère phrase est claire.
La 3ème est claire aussi, mais je préfère : les entiers $a, b, c,d$ sont premiers entre eux deux à deux. (c'est juste mon avis, je ne connais pas trop les usages en cours).

Zakariyae · January 2019

merci beaucoup @Math Coss pour votre éclaircissement (tu)

Math Coss · January 2019

Bonne remarque de lourrran : on ne dit pas « premiers deux à deux » mais « premiers entre eux deux à deux ». Je corrige ci-dessus.

Entiers premiers entre eux

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