Nombre de solutions de $ax+by+(a+b)z=n$
dans Arithmétique
Soient un entier naturel $n$ et deux entiers naturels $a$ et $b$ premiers entre eux et non nuls.
On note $(r)_q$ le reste de la division euclidienne de $r$ par $q$. On note $0<(p^{-1})_q<q$ l'inverse modulaire de $p\mod(q)$.
Démontrer que le nombre de triplets $(x,y,z)\in\N^3$ solutions de l'équation $ax+by+(a+b)z=n$ est:
1) Si $(n)_{a+b}=0$:
$$\Big(\dfrac{n}{a+b}+1-\dfrac{a}{2}\Big\lfloor\dfrac{n}{a(a+b)}\Big\rfloor\Big)\Big(\Big\lfloor\dfrac{n}{a(a+b)}\Big\rfloor+1\Big)+ \Big(\dfrac{n}{a+b}+1-\dfrac{b}{2}\Big\lfloor\dfrac{n}{b(a+b)}\Big\rfloor\Big)\Big(\Big\lfloor\dfrac{n}{b(a+b)}\Big\rfloor+1\Big) -\dfrac{n}{a+b}-1$$
2) Si $(n)_{a+b}\ne0$:
$$\Big(\dfrac{n-a\Big((a^{-1})_{a+b}n\Big)_{a+b}}{a+b}+1-\dfrac{a}{2}\Big\lfloor\dfrac{n-a\Big((a^{-1})_{a+b}n\Big)_{a+b}}{a(a+b)}\Big\rfloor\Big)\Big(\Big\lfloor\dfrac{n-a\Big((a^{-1})_{a+b}n\Big)_{a+b}}{a(a+b)}\Big\rfloor+1\Big)$$
$$+$$
$$\Big(\dfrac{n-b\Big((b^{-1})_{a+b}n\Big)_{a+b}}{a+b}+1-\dfrac{b}{2}\Big\lfloor\dfrac{n-b\Big((b^{-1})_{a+b}n\Big)_{a+b}}{b(a+b)}\Big\rfloor\Big)\Big(\Big\lfloor\dfrac{n-b\Big((b^{-1})_{a+b}n\Big)_{a+b}}{b(a+b)}\Big\rfloor+1\Big) $$
Al-Kashi
On note $(r)_q$ le reste de la division euclidienne de $r$ par $q$. On note $0<(p^{-1})_q<q$ l'inverse modulaire de $p\mod(q)$.
Démontrer que le nombre de triplets $(x,y,z)\in\N^3$ solutions de l'équation $ax+by+(a+b)z=n$ est:
1) Si $(n)_{a+b}=0$:
$$\Big(\dfrac{n}{a+b}+1-\dfrac{a}{2}\Big\lfloor\dfrac{n}{a(a+b)}\Big\rfloor\Big)\Big(\Big\lfloor\dfrac{n}{a(a+b)}\Big\rfloor+1\Big)+ \Big(\dfrac{n}{a+b}+1-\dfrac{b}{2}\Big\lfloor\dfrac{n}{b(a+b)}\Big\rfloor\Big)\Big(\Big\lfloor\dfrac{n}{b(a+b)}\Big\rfloor+1\Big) -\dfrac{n}{a+b}-1$$
2) Si $(n)_{a+b}\ne0$:
$$\Big(\dfrac{n-a\Big((a^{-1})_{a+b}n\Big)_{a+b}}{a+b}+1-\dfrac{a}{2}\Big\lfloor\dfrac{n-a\Big((a^{-1})_{a+b}n\Big)_{a+b}}{a(a+b)}\Big\rfloor\Big)\Big(\Big\lfloor\dfrac{n-a\Big((a^{-1})_{a+b}n\Big)_{a+b}}{a(a+b)}\Big\rfloor+1\Big)$$
$$+$$
$$\Big(\dfrac{n-b\Big((b^{-1})_{a+b}n\Big)_{a+b}}{a+b}+1-\dfrac{b}{2}\Big\lfloor\dfrac{n-b\Big((b^{-1})_{a+b}n\Big)_{a+b}}{b(a+b)}\Big\rfloor\Big)\Big(\Big\lfloor\dfrac{n-b\Big((b^{-1})_{a+b}n\Big)_{a+b}}{b(a+b)}\Big\rfloor+1\Big) $$
Al-Kashi
Réponses
-
Il y avait une coquille , je corrige.
Al-Kashi -
Où habitent $x,y,z$ ?
Tu crois sérieusement que quelqu'un va lire (pas comprendre, lire) ta formule ? -
Bonjour Soland,
J'ai utilisé mes notations habituelles, mais tu as raison il faudrait peut être que je les rappelle.
Je vais rajouter des précisions du coup.
Al-Kashi -
Voilà qui est fait.
Al-Kashi -
Pour information, c'est après avoir lu dans l'excellent livre de Louis Comtet, analyse combinatoire approfondie, la résolution de certains cas particuliers comme $1x+2y+3z=n$ ou encore $1x+2y+5z=n$ que je m'étais demandé si on pouvait généraliser l'étude de certains cas.
Ces deux cas peuvent être traités dans le cas plus général $ax+by+(a+b+kab)z=n$ pour lequel on peut aussi établir une relation close.
Bien évidemment, le cas général $ax+by+cz=n$, que j'étudie encore, est extrêmement difficile.
Al-Kashi -
Bon courage.
-
Merci Soland.
Al-Kashi -
Je vois que les dénumérants ne sont plus à la mode :-D.
Al-Kashi -
Bonjour Al Kashi,
Il y a quelque chose que je comprends pas et finalement je crois qu'il y a un problème d'écriture.
Tu utilises une même écriture pour deux opérations différentes (.)q :
L'inversion modulaire, qui est une involution (fof=id)
La réduction modulaire, qui est une projection (fof=f)
Tu pars de deux définitions :
"On note (r)q le reste de la division euclidienne de r par q"
Tu ne le notes pas mais a priori r est un entier naturel.
"On note (p-1)q l'inverse modulaire de p mod (q)"
En tant que lecteur, j'attend donc que ce qui se trouve après, entre parentheses, est soit un entier soit l'inverse d'un entier.
Or dans la seconde partie de ta formule, on lit (a-1n)(a+b) et (b-1n)(a+b)
Ce qu'il y a entre parenthèse est un entier ou l'inverse d'un entier ?
En résumé, tu écris (expression)q
soit expression est un entier et (.)q est la réduction modulaire,
soit expression est l'inverse d'un entier et (.)q est l'inverse modulaire,
soit expression est un rationnel non entier (et donc non inverse d'un entier) et l'écriture n'a pas de sens ... car tu ne l'as pas définie !
L'ambiguité vient lorsqu'on doit répondre à la question du 3ième point suivant :
1) (r)q le reste de la division euclidienne de r par q
2) (p-1)q l'inverse modulaire de p mod (q)
3) que signifie alors (r.p-1)q ?
Je parcours ce qui tu as écris précédemment.
Dans ton fichier D_num_rant.pdf on lit, aux deux premières lignes de ta démonstration :
z = q-1n (p)
puis
z=(q-1n)p + kp
comment passes-tu de l'un à l'autre ?
Pour illustrer mon propos, je prends des valeurs numériques :
q=3, n=20, p=11
z=(3-1.20) [11]
soit z=6.6666... [11] ce qui est une écriture absurde,
soit
z=4.20 [11] (car 3x4=12=11+1)
z=80 [11]
z=3 [11]
si ce dernier calcul est le bon,
alors ne doit-on pas écrire (a-1n)(a+b) = (n(a-1)(a+b))(a+b) dans ta formule ? -
Bonjour Alex,
En effet, je ne voulais pas "alourdir" la notation, et c'est donc bien l'écriture $((a^{-1})_{a+b}n)_{a+b}$ qu'il faut comprendre. Du coup je vais rajouter la précision pour que cela soit clair pour le lecteur.
Pour répondre à ta première question:
si $z\equiv q^{-1}n \mod(p)$ cela implique que $z-(q^{-1}n)_p$ est un multiple de $p$. On a donc $z=(q^{-1}n)_p+kp$. la condition $z\in\N$ est alors équivalente à $k\in\N$.
Al-Kashi -
Voici une indication pour obtenir ces résultats: distinguer les cas $y\le x$ et $x\leq y$.
Al-Kashi
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Bonjour!
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