Théorème de Bézout

Note
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dans Arithmétique
Bonjour,

Il me faut demontrer que PGCD(a;b²)=1<=>PGCD(a;b)=1

Quelqu'un peut-il m'expliquer pourquoi ma démonstration est fausse ?

PGCD(a;b²)=1<=>au+vb²=1<=>au+vb*b=1<=>au+v'b=1
<=>PGCD(a;b)=1

Je pense que la dernière équivalence est fausse car je ne vois pas comment on passe de au+bv' à au+v'b*b dans l'autre sens.

Réponses

  • Gilles old
    Gilles old
    Si tu as au+v'b=1, comment peux affirmer que v' est un multiple de b et en déduire que au+vb*b=1 ?
  • Gilles old
    Gilles old
    Fais une démonstration en deux implications. Tu as déjà montré un sens, pour l'autre part de au+bv=1 et essaie d'en déduire une relation de la forme au'+b²v'=1, peu importe la tête de u' et v' !
  • Chaurien
    Chaurien
    Si $au+bv=1$, alors $b^2v^2=...$ ?
  • Note
    Note
    Ah oui je n'avais pas pensé à ça. Il me faudrait donc écrire:

    PGCD(a;b²)=1<=>au+vb²=1<=>au+vb*b=1<=>au+v'b=1, avec v'=v*b =>PGCD(a;b)=1

    PGCD(a;b)=1<=>au+vb=1<=>a²u²+2auvb +v²b²=1<=>a(au²+2uvb)+b²(v²)=1=>PGCD(a,b²)=1

    Donc PGCD(a;b)=1<=>PGCD(a;b²)
  • Dom
    Dom
    Comme cela a été suggéré, pour éviter d'écrire des choses pas claires, voire fausses, il est préférable de rédiger en deux implications (on enchaîne des "donc").

    Ensuite, même si les choses sont compréhensibles, écrire "PGCD(a;b²)=1<=>au+vb²=1" est trop rapide.
    Il manque des quantificateurs (notamment, sur u et v).
  • Note
    Note
    Oui il m'aurait fallu dire : "il existe u et v appartenant à l'ensemble Z tel que au + bv = 1" mais je ne sais pas comment on fait les symboles des quantificateurs.
  • Note
    Note
    Lorsque j'écris:

    $a(au^2+2uvb)+b^2(v^2)=1,\ (u,v)\in\Z^2 \Rightarrow PGCD(a,b^2)=1$

    Est-ce que j'applique encore le théorème de Bézout car dans le théorème de Bézout il y a une équivalence ?
  • gerard0
    gerard0
    Bonsoir.

    Quand on applique un théorème qui est une équivalence, on applique souvent en fait l'une des deux parties de l'équivalence, l'implication dans un sens, ou celle dans l'autre sens. C'est ce que tu fais ici. Un peu mal écrit, puisque c'est plutôt
    $a(au^2+2uvb)+b^2(v^2)=1,\ (au^2+2uvb,v^2)\in\Z^2 \Rightarrow PGCD(a,b²)=1$

    Cordialement.
  • Dom
    Dom
    Je propose une autre correction où le quantificateur "il existe" est explicite :

    Il existe $(u,v)\in\Z^2$ tel que $a(au^2+2uvb)+b^2(v^2)=1$ donc* $PGCD(a,b^2)=1$.


    *[small](d'après le théorème de Bézout)[/small]
  • soland
    soland
    Sans Bézout. Tous les acteurs sont dans $\mathbb{Z}$

    $d$ divise $a$ et $b \Rightarrow$
    $a=\alpha d$ et $b=\beta d \Rightarrow$
    $a=\alpha d$ et $b^2=(\beta^2d) d \Rightarrow$
    $d$ divise $a$ et $b^2 \Rightarrow$
    $d=±1$ (Hypothèse) $\Rightarrow$
    $±1$ sont les seuls diviseurs communs de $a$ et $b$

    SPQR (non ?)
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Comme pour le théorème de Pythagore dans un but de simplification j'imagine on préfère énoncer le théorème de Bézout en un seul énoncé avec une équivalence.

    Mais cela masque le fait qu'il y a une partie de ce théorème qui est une évidence, et une autre, qui est nettement moins évidente.

    La partie évidente:

    Si on a quatre entiers $a,b,u,v$ qui sont tels que $au+bv=1$ alors $a,b$ sont premiers entre eux et $u,v$ sont premiers entre eux.
    Si $d>0$ est un diviseur de $a$ et $b$ alors toute combinaison linéaire à coefficients entiers de $a$ et $b$ est divisible par $d$ donc en particulier $d$ divise $au+bv$. Mais ce dernier vaut $1$. $1$ n'a qu'un seul diviseur positif, lui même, donc $d=1$ et donc $a,b$ sont premiers entre eux.

    L'autre partie est nettement moins évidente.

    Elle affirme que pour démontrer que $a,b$ sont premiers entre eux, il suffit d'exhiber deux entiers $u,v$ qui sont tels que $au+bv=1$
    C'est cette partie qui est utilisée pour ce que veut établir Note.

    PS:
    On voit l'effet de la simplification que cela peut produire dans l'esprit des élèves.
    Je viens de vérifier dans un manuel scolaire, Math'x de chez Didier, le théorème de Bézout est bien énoncé en un seul énoncé.
  • Note
    Note
    Merci beaucoup pour toutes vos explications. C'est en effet bien plus clair en raisonnant en implication plutôt qu'en équivalence. J'y ferais attention à l'avenir.
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