Polynôme et divisibilité

Bonsoir,

À mon avis, tu n'as pas tout à fait réussi. En effet ton affirmation "$b^ n$ divise $a_na^n$" est fausse. Par exemple $\dfrac12$ est racine de $6X^2-5X+1$, mais $2^2=4$ ne divise pas $6$.

Pour prendre les choses par le bon bout, on peut chasser les dénominateurs et remarquer que si $\dfrac{a}{b}$ est racine de $P$, alors
$$a_na^n+a_{n-1}a^{n-1}b+\cdots+a_1ab^{n-1}+ a_0 b^n=0\;.$$

La méthode du jaguar casqué est décrite par Boris Vian dans les Chroniques du menteur engagé. Il la présente comme un algorithme possible pour détruire les militaires grade par grade.

C'est tout du sérieux : La méthode du jaguar casqué consiste à se ramener au cas précédent.

e.v.

La chasse aux dénominateurs est une activité à recommander quand on a affaire a des fractions. Ici, ça consiste à réduire toutes les fractions au même dénominateur, à en faire la somme, et à conserver le numérateur dans
$$P\left(\frac{a}{b}\right)=a_n\frac{a^n}{b^n}+a_{n-1}\frac{a^{n-1}}{b^{n-1}}+\cdots +a_1\frac{a}{b}+a_0\;.$$
Peut être retrouveras-tu $b^nP\left(\dfrac{a}{b}\right)$ dans l'histoire ?
Et si tu n'arrives pas à comprendre pourquoi
$$a_na^n+a_{n-1}a^{n-1}b+\cdots+a_1ab^{n-1}+ a_0 b^n=0$$
entraîne que $b$ divise $a_na^n$, c'est que, malgré mes recommandations, tu n'as pas assez contemplé cette égalité.

De plus, on peut montrer que le polynôme a un facteur $(bx-a)$.