$\sqrt{m}+\sqrt{m+1}$ est irrationnel

Deadbefore · February 2019

Bonjour, je dois montrer que pour tout $m\ge1$, $\sqrt{m}+\sqrt{m+1}$ est irrationnel. Quelqu'un aurait une idée ?
J'ai essayé d'appliquer la même méthode que pour prouver que $\sqrt{2}$ est irrationnel (par l'absurde, écrire que $m\ge1$, $\sqrt{m}+\sqrt{m+1}=\frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ des entiers relatifs et trouver des diviseurs de $p$ et de $q$) mais ça ne marche pas.
Je précise que c'est une question faisant partie du problème suivant.
Pour $a,b$ des entiers naturels, prouver que $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ est racine du polynôme $X^4-2(a+b)X^2+(a-b)^2$, question qui est facile et que j'ai réussie.

YvesM · February 2019

Bonjour,

Élève au carré. Puis applique la méthode pour $\sqrt{2}$...

Pour suivre l’énoncé tu peux écrire le polynôme selon $m$. Si ce polynôme admet une racine rationnelle $p/q$, alors $p$ divise $...$ et $q$ divise $...$ et donc $...$ est solution : donc $m=0$.

Philippe Malot · February 2019

Bonjour,
Sans utiliser l'énoncé, si $\sqrt{m}+\sqrt{m+1}$ est rationnel, alors son inverse $\sqrt{m+1}-\sqrt{m}$ aussi, et du coup $\sqrt{m}$ et $\sqrt{m+1}$ le sont également.

Deadbefore · February 2019

J'essaie d'appliquer la même méthode que pour $\sqrt{2}$ sauf que je suis bloqué:
on écrit donc :
\begin{align*}
\sqrt{m}+\sqrt{m+1}=p/q
&\iff (\sqrt{m}+\sqrt{m+1})^2=p^2/q^2 \\
&\iff 2m+1+2\sqrt{m}\sqrt{m+1}=p^2/q^2 \\
&\iff p^2=2(m+1/2+\sqrt{m}\sqrt{m+1}) \\
\end{align*}
Sauf qu'après je suis bloqué, le but étant de montrer que $p^2$ s'écrit comme 2 fois un entier relatif, or $m+1/2+\sqrt{m}\sqrt{m+1}$ n'en ait pas un.

Poirot · February 2019

Si $\sqrt m + \sqrt{m+1}$ est rationnel alors, en élevant au carré, on obtient que $\sqrt{m(m+1)}$ est rationnel. Applique ta méthode pour montrer que ce n'est pas le cas.

Deadbefore · February 2019

on note note que:
\begin{align*}
& \sqrt{m(m+1)}=p/q
& \iff m(m+1)=p^2/q^2
& \iff p^2=q^2m(m+1)
\end{align*}
Donc comme $m(m+1)$ est entier, on en déduit que $p^2=q^2k$ avec k un entier relatif
Et ensuite que faire ?

Poirot · February 2019

Tu peux choisir $p$ et $q$ premier entre eux.

Deadbefore · February 2019

Ah ok donc sa conclut la démonstration, $p^2=q^2k$ est impossible car p et q doivent être premier entre eux donc on ne peux pas écrire p comme q multiplié par un entier c'est ça ?

Poirot · February 2019

Pas si $q=1$.

Deadbefore · February 2019

Dans ce cas là on aurait que $\sqrt{m(m+1)}=1$ ce qui est absurde non ?

Poirot · February 2019

Non, on aurait $m(m+1)=p^2$. À toi de voir pourquoi c'est absurde.

Deadbefore · February 2019

Ah j'ai compris:
$m(m+1)=p^2 \iff m=p \text{ OU } m+1=p$ ce qui est absurde.

Poirot · February 2019

Bon là tu fais vraiment n'importe quoi. Tu penses vraiment que si $a^2=bc$ alors $a=b$ ou $a=c$ ?

GG · February 2019

C'est pour ça que, même si ce n'est pas un résultat difficile que si un produit de deux entiers premiers entre eux est un carré, les facteurs le sont aussi (de ab = c² et (a, b) =1 on tire (a, c)² = (a², c²) = a (a, b) = a et
(b, c)² = b), l'idée de Philippe Malot est meilleure parce que plus simple puisque l'on a directement que m et m+1 seraient des carrés !

Deadbefore · February 2019

Ben oui pour moi ça semble logique.
$m(m+1)=p^2 \iff m(m+1)=p*p$ par identification $m=p$ ou $m+1=p$ ce qui est absurde.

[Petite révision pour éviter des erreurs systématiques. ;-) AD]
https://www.francaisfacile.com/exercices/exercice-francais-2/exercice-francais-40256.php

Deadbefore · February 2019

GG que veut dire (a, b) =1 ?

nicolas.patrois · February 2019

Le PGCD de a et de b vaut 1, autrement dit, ils sont premiers entre eux.

Poirot · February 2019

Tiens ça faisait longtemps que je l'avais pas entendu celle-là "par identification". L'expression qui montre que l'étudiant invente des règles qui ont 99% de chances de ne pas marcher.

Tu peux remarquer que $3 \times 4 = 2 \times 6$ donc "par identification" $3=2$ ou $3=6$ ?

Bon, une fois que tu es arrivé à $p^2 = m(m+1)$, il reste encore à remarquer que $m$ et $m+1$ sont premiers entre eux, donc si $d$ est un diviseur premier de $p$, on a d'après le théorème de Gauss que $d^2$ divise $m$ ou $d^2$ divise $m+1$ mais pas les deux. Réciproquement si $d$ divise $m$ alors $d$ divise $p^2$ et comme $m$ et $m+1$ sont premiers entre eux, $d^2$ divise $m$, et un raisonnement similaire pour $m+1$.

La conclusion est que $m$ et $m+1$ sont simultanément des carrés, ce qui devrait te faire bondir.

Deadbefore · February 2019

Poirot je ne te permets pas d'être autant rabaissant, je suis étudiant donc par définition j'apprends, si tu ne veux pas aider ou si c'est pour aider et dénigrer les gens passe ton chemin, et ce n'est pas parce que t'es administrateur que tu as la permission d'être désagréable.
Pour revenir au problème on a $m(m+1)=p*p$, si on choisit un exemple on aurait $6(6+1)=5*5$ se qui est absurde car un nombre au carré ne peux pas s'écrire comme le produit de deux nombres consécutifs, cette explication est largement suffisante.

Poirot · February 2019

Je ne te rabaisse pas, tu ne fais pas l'effort de faire des maths. Si cette "justification" t'est suffisante je te souhaite bon courage dans la suite de tes études.

Rescassol · February 2019

Bonjour,

> un nombre au carré ne peux pas s'écrire comme le produit de deux nombres consécutifs

Ceci est une affirmation qui doit être démontrée.

Cordialement,

Rescassol

GG · February 2019

@Rescassol, peut-être que pour Deadbefore, était-il évident que si p² = m (m+1), alors m = (p+m)(p-m) ce qui est difficile sachant que p+m > m, who knows ?

Par contre, je l'invite à distinguer "sa" et "ça " avec, pourquoi pas, un exemple :

Sa Rolex brille de mille feux. Elle est magnifique !
La Rolex et le costard Armani, ça en jette un max !

gerard0 · February 2019

Oui, GG,

ou bien il sait que m²+m n'est pas un carré car le carré suivant m² est 2m+1 après m².

Bon, arrêtons de nous moquer de Deadbefore, qui se contente d'affirmations à la place de preuves.

Cordialement.

Michiel Vermeulen · February 2019

Joli!

Deadbefore · February 2019

Ça me fait rire autant de personnes qui souhaitent autant décourager et humilier des étudiants qui ont eux, contrairement à certaines personnes présente sur cette discussion, ont l'amour pour les Mathématiques. Je me marre aussi quand je vois autant de personnes qui ont une vie si peu intéressante et qu'ils la passent H-24 sur des forums ah ah... les pauvres... Aller, moi je vais vous laisser les mecs, j'ai autre chose à faire que de vouloir démotiver des étudiants qui cherchent un peu d'aide à une question, je préfère amplement les aider et savoir que j'ai fait quelque chose d'utile

Michiel Vermeulen · February 2019

Est-ce qu'on n'a pas, pour $n$ et $m$ des nombres naturels:

$\sqrt{n}+\sqrt{m}$ est rationel si et seulement si $n$ et $m$ sont des carrés d'autres nombres naturels?

Poirot · February 2019

Si $mn$ n'est pas un carré, la même démonstration que pour $m$ et $m+1$ fonctionne. Sinon, on se ramène facilement au cas où $m=n$ : si $p$ est un diviseur premier de $m$ tel que $m$ a une valuation $p$-adique impaire, disons $2k+1$, alors comme $mn$ est un carré, la valuation $p$-adique de $n$ est impaire, disons $2l+1$. Pour ces nombres $p$, on sort $p^{2k}$ de $\sqrt m$ et $p^{2l}$ de $\sqrt n$. Réciproquement, on obtient que si $p$ divise $n$ avec $v_p(n)$ impair, alors $v_p(m)$ est impair, et on a déjà sorti les bonnes puissances de $p$ de chaque racine. Si la valuation est paire, on peut directement sortir tout $p^{v_p(m)}$ de $\sqrt m$ et $p^{v_p(n)}$ de $\sqrt n$. On a donc $\sqrt m + \sqrt n = a\sqrt r + b \sqrt r$ où $a, b \in \mathbb N$ et $r$ est le produit des facteurs premiers $p$ de $m$ tels que $v_p(m)$ est impair (ensemble non vide puisqu'on a supposé $m$ non carré). Alors $\sqrt m + \sqrt n = \sqrt{(a+b)^2r}$ est irrationnel car $r$ n'est pas un carré d'entier.

GG · February 2019

@Michiel, il y a toujours l'argument trivial de Philippe Malot : si rac(n) + rac(m) est rationnel, rac(n) - rac(m) l'est aussi, et, etc !

$\sqrt{m}+\sqrt{m+1}$ est irrationnel

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