p nombre premier <=> il existe ...

Probablement utile à un moment :
$$
\frac{1}{p} = \frac{1}{p-1} - \frac{1}{p(p-1)}
$$

Si $p$ n'est pas premier, écrivons-le $p=ab$ avec $1<a\leq b <p$. Alors $(m,n)=(p(p-1),p-1)=(ab(ab-1),ab-1)$ et $(m,n)=(ab(a-1),ab-b)$ sont deux couples distincts de solutions.

Si la décomposition en facteurs de premiers de $p$ est $p = \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}$ (avec $\alpha_i>0$), il y autant de couples $(m,n)$ que d'entiers strictement inférieurs à $p$ de la forme $\prod_{i=1}^k p_i^{\beta_i}$ avec $0\leq \beta_i \leq 2\alpha_i$.
Je ne vois pas comment rendre cela plus explicite.

Sur quelques essais je vois bien que le nombre de solutions ne dépend que des $\alpha_i$, mais je n'arrive pas à effectuer le dénombrement.
Sur des cas simples comme $n=2^2 \cdot 3^2$ et $n=2^2 \cdot 5^2$ les entiers inférieurs à $n$ de la forme $2^{a} \cdot 3^{b}$ (et $2^a \cdot 5^b$ pour le second) avec $0 \leq a,b \leq 4$ n'apparaissent déjà pas dans le même ordre, même si au final on en trouve 12... Comment s'y prendre ?

Oh non, ta formule ne marche déjà pas si $n$ est un produit de deux nombres premiers. Tu as oublié que les exposants peuvent dépasser $\alpha_i$ (jusqu'à $2\alpha_i$).

Ah oui tout simplement, pourtant c'est bien de là que j'étais parti !

Ca nous en fait donc $\frac{1}{2} \, \left(\prod_{i=1}^k \left(2\alpha_i+1\right)-1 \right)$.

Je suis d'accord.

Ou autrement :

1 / m = 1 / n - 1 / p = (p - n) / (pn)

Or p-n est forcément premier avec pn, donc p-n = 1, et donc n unique et m également.