p nombre premier <=> il existe ...
A prouver:
p nombre premier <=> il existe des nombres naturels uniques n et m tel que 1/p = 1/n -1/m
Exemple: 1/2 = 1/1 -1/2
p nombre premier <=> il existe des nombres naturels uniques n et m tel que 1/p = 1/n -1/m
Exemple: 1/2 = 1/1 -1/2
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Réponses
$$
\frac{1}{p} = \frac{1}{p-1} - \frac{1}{p(p-1)}
$$
$$
(m+p)(p-n)=p^2.
$$
Si $p$ est premier, on a nécessairement $m+p=p^2$ et $p-n=1$, d'où un unique couple $(m,n)=(p^2-p,p-1)$.
connaissant la factorisation de $p\in\N^*$ combien y a-t-il de couples $(m,n)\in(\N^*)^2$ tels que $\dfrac1p=\dfrac1n-\dfrac1m$ ?
Je ne vois pas comment rendre cela plus explicite.
Sur des cas simples comme $n=2^2 \cdot 3^2$ et $n=2^2 \cdot 5^2$ les entiers inférieurs à $n$ de la forme $2^{a} \cdot 3^{b}$ (et $2^a \cdot 5^b$ pour le second) avec $0 \leq a,b \leq 4$ n'apparaissent déjà pas dans le même ordre, même si au final on en trouve 12... Comment s'y prendre ?
C'est toi qui a donné la solution: l'équation s'écrit $(m+p)(p-n)=p^2$.
Ca nous en fait donc $\frac{1}{2} \, \left(\prod_{i=1}^k \left(2\alpha_i+1\right)-1 \right)$.
1/p = 1/n - 1/m peut s’écrire aussi de façon unique comme:
p = mn/(m-n). Donc:
p nombre premier <=> il existe des nombres naturels m et n uniques tel que p = mn/(m-n).
Donc m-n divise mn si et seulement si mn/(m-n) est un nombre premier .
Ce sont d’autres formulations de la même proposition.
1 / m = 1 / n - 1 / p = (p - n) / (pn)
Or p-n est forcément premier avec pn, donc p-n = 1, et donc n unique et m également.