p nombre premier <=> il existe ...
A prouver:
p nombre premier <=> il existe des nombres naturels uniques n et m tel que 1/p = 1/n -1/m
Exemple: 1/2 = 1/1 -1/2
p nombre premier <=> il existe des nombres naturels uniques n et m tel que 1/p = 1/n -1/m
Exemple: 1/2 = 1/1 -1/2
Réponses
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Probablement utile à un moment :
$$
\frac{1}{p} = \frac{1}{p-1} - \frac{1}{p(p-1)}
$$ -
Bon, je tiens un sens. Le problème équivaut à trouver $m$ et $n$ entiers naturels non nuls tels que
$$
(m+p)(p-n)=p^2.
$$
Si $p$ est premier, on a nécessairement $m+p=p^2$ et $p-n=1$, d'où un unique couple $(m,n)=(p^2-p,p-1)$. -
Si $p$ n'est pas premier, écrivons-le $p=ab$ avec $1<a\leq b <p$. Alors $(m,n)=(p(p-1),p-1)=(ab(ab-1),ab-1)$ et $(m,n)=(ab(a-1),ab-b)$ sont deux couples distincts de solutions.
-
Pour finir, voici une ligne de code pour trouver les décompositions.
def michiel(p): return [((n*p)//(p-n),n) for n in range(1,p) if not (n*p)%(p-n)]
>>> michiel(24) [(8, 6), (12, 8), (24, 12), (40, 15), (48, 16), (72, 18), (120, 20), (168, 21), (264, 22), (552, 23)]
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Merci Gilles. Super!
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Un prolongement:
connaissant la factorisation de $p\in\N^*$ combien y a-t-il de couples $(m,n)\in(\N^*)^2$ tels que $\dfrac1p=\dfrac1n-\dfrac1m$ ? -
Si la décomposition en facteurs de premiers de $p$ est $p = \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}$ (avec $\alpha_i>0$), il y autant de couples $(m,n)$ que d'entiers strictement inférieurs à $p$ de la forme $\prod_{i=1}^k p_i^{\beta_i}$ avec $0\leq \beta_i \leq 2\alpha_i$.
Je ne vois pas comment rendre cela plus explicite. -
Il y a une formule simple avec les $\alpha_i$.
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Sur quelques essais je vois bien que le nombre de solutions ne dépend que des $\alpha_i$, mais je n'arrive pas à effectuer le dénombrement.
Sur des cas simples comme $n=2^2 \cdot 3^2$ et $n=2^2 \cdot 5^2$ les entiers inférieurs à $n$ de la forme $2^{a} \cdot 3^{b}$ (et $2^a \cdot 5^b$ pour le second) avec $0 \leq a,b \leq 4$ n'apparaissent déjà pas dans le même ordre, même si au final on en trouve 12... Comment s'y prendre ? -
produit des (alpha_i +1) -1?
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Oh non, ta formule ne marche déjà pas si $n$ est un produit de deux nombres premiers. Tu as oublié que les exposants peuvent dépasser $\alpha_i$ (jusqu'à $2\alpha_i$).
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Ah oui tout simplement, pourtant c'est bien de là que j'étais parti !
Ca nous en fait donc $\frac{1}{2} \, \left(\prod_{i=1}^k \left(2\alpha_i+1\right)-1 \right)$. -
Ah oui, j'ai vu mon erreur, merci !
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Je suis d'accord.
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Revenant au début:
1/p = 1/n - 1/m peut s’écrire aussi de façon unique comme:
p = mn/(m-n). Donc:
p nombre premier <=> il existe des nombres naturels m et n uniques tel que p = mn/(m-n).
Donc m-n divise mn si et seulement si mn/(m-n) est un nombre premier .
Ce sont d’autres formulations de la même proposition. -
Ou autrement :
1 / m = 1 / n - 1 / p = (p - n) / (pn)
Or p-n est forcément premier avec pn, donc p-n = 1, et donc n unique et m également.
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Bonjour!
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