Un inverse modulaire particulier
dans Arithmétique
Bonjour
Je sais calculer les inverses modulaires donc tout va bien de ce côté là.
Il se trouve que quand je calcule l'inverse modulo 56 de 43 c'est justement 43.
À quelle condition l'inverse modulaire d'un nombre est égal à ce même nombre ?
Merci d'avance.
Je sais calculer les inverses modulaires donc tout va bien de ce côté là.
Il se trouve que quand je calcule l'inverse modulo 56 de 43 c'est justement 43.
À quelle condition l'inverse modulaire d'un nombre est égal à ce même nombre ?
Merci d'avance.
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Réponses
Modulo $7$ tu as les deux racines carrées de $1$ : $1,6$.
Modulo $8$, tu as $1,3,5,7$.
$43$ est congru à $1$ modulo $7$ et à $3$ modulo $8$.
Combien as-tu de racines carrées de $1$ modulo $56$ ?
J'ai bien vu que cela marchait mais je ne comprends pas pourquoi.
En fait plus généralement quand on a des résultats modulo m et modulo n avec m et n premiers entre eux, dans quels cas peut-on multiplier les résultats pour en déduire une égalité modulo mn ?
Merci de m'éclairer
Désolé si je suis nul....
PS : je sais qu'on a un théorème d'existence et d'unicité de solution modulo mn (le théorème chinois) mais là j'ai eu l'impression que GabuzoMeu utilisait quelque chose de plus fort que le théorème chinois, puisque non seulement il sait que les solutions existent, mais en plus il a multiplié les solutions modulo 7 et modulo 8 de l'équation x2=1 pour en déduire que la solution "produit" vaut forcément 1 modulo le produit de 8 par 7 , soit 56.
Puisque $x^2=1 \pmod m$ et $x^2=1 \pmod n$ avec $m$ et $n$ premiers entre eux, on a bien $x^2=1 \pmod {mn}$.
Et sinon du coup dans quelles conditions on a x = a (n) et x = b (m) implique x (ou x2) = ab (mn) ?