Cubes impairs

soland · February 2019

Etant donné un entier $n$ , on essaie de ranger dans un cube de côté $(2n-1)$
un petit cube de côté 1 et autant de pavés $1\times 1\times 2$ que possible
(1) sans autre restriction,
(2) en plaçant au centre le petit cube,
(3) comme (2), mais sans que deux facettes $1\times 1$ ne se touchent.
Quel est ce maximum ?

J'ai regardé $0<n<5$ sans trop me prendre la tête.

lourrran · February 2019

Coupons notre cube en tranches ($2n-1$ tranches).
Coupons chaque tranche en $n$ rangées. Chaque rangée a une largeur de 2, sauf la dernière, qui a une largeur de 1.
Dans les rangées de largeur 2, on peut disposer $2n-1$ pavés.
Dans la rangée de largeur 1, on peut disposer $(n-1)$ pavés.
Dans chaque tranche, on peut donc disposer $(n-1)(2n-1) + (n-1)$ pavés, soit $2n(n-1)$ pavés.
Et donc, pour la question 1 : $2n(2n-1)(n-1)$ pavés.

Pour la question 2, selon que $n$ est pair ou impair, on a soit le résultat précédent, soit la même chose, mais moins 1.

Pour la question 3, il faut un peu plus de temps de réflexion.
Est-ce qu'on est bien d'accord : la configuration qui est interdite, c'est quand 2 pavés $1\times 1\times 2$ sont alignés, pour former un pavé $1\times 1\times 4$ ?

jandri · February 2019

Pour la question 1) il reste de la place, une colonne de $1\times 1\times (2n-1)$, dans laquelle on peut placer $n-1$ pavés.
Il y a donc un total de $(4n^2-2n+1)(n-1)$ pavés.
Pour $n=2$ cela fait bien $13$ pavés.

soland · February 2019

@lourran
Le petit cube a 6 faces 1x1

soland · February 2019

Un rangement optimal remplit complètement le grand cube et utilise donc $(n-1)(4n^2-2n+1)$ pavés (cf. Jandry).
Un rangement suboptimal utilise un pavé de moins.

Il semble utile de colorier le grand cube selon un motif en échiquier.

soland · February 2019

Colorions les coins du grand cube en noir. Il y a alors une case noire de plus que de cases blanches.
Si la case centrale est noire, un rangement optimal est possible, sinon un rangement suboptimal est possible.
(Preuve de l'affirmation de lourran.)

marco · February 2019

Pour la question 3), et un grand cube de côté 5, il y a un rangement optimal.
Les nombres strictement positifs (dans chaque étage) réprésentent le numéro du pavé.
-1 représente le petit cube.

Etage 0
1 4 6 9 12
1 4 6 9 12
2 2 7 10 10
3 5 8 11 13
3 5 8 11 13
Etage 1
14 17 19 21 24
14 17 19 21 24
15 15 7 22 22
16 18 20 23 25
16 18 20 23 25
Etage 2
26 29 31 33 36
26 29 31 33 36
27 27 -1 34 34
28 30 32 35 37
28 30 32 35 37
Etage 3
38 41 43 46 49
38 41 43 46 49
39 39 44 47 47
40 42 45 48 50
40 42 45 48 50
Etage 4
51 54 56 58 61
51 54 56 58 61
52 52 44 59 59
53 55 57 60 62
53 55 57 60 62

Non, ça ne convient pas car le petit cube a 6 faces 1x1...

marco · February 2019

Avec la bonne consigne, il y a un rangement suboptimal pour la question 3) et un grand cube de côté 5 (il y a donc 61 pavés):

Etage 0
1 4 6 8 11
1 4 6 8 11
2 2 0 9 9
3 5 7 10 12
3 5 7 10 12
Etage 1
13 16 18 20 23
13 16 18 20 23
14 14 0 21 21
15 17 19 22 24
15 17 19 22 24
Etage 2
25 28 31 31 36
25 28 32 32 36
26 29 -1 35 37
27 30 33 33 38
27 30 34 34 38
Etage 3
39 41 43 43 48
39 41 44 47 47
26 29 44 35 37
40 42 45 45 49
40 42 46 46 49
Etage 4
50 53 55 55 48
50 53 56 59 59
51 51 56 60 60
52 54 57 57 61
52 54 58 58 61

marco · February 2019

Il y a aussi un rangement optimal pour la question 3):

Etage 0
1 4 6 6 11
1 4 7 10 11
2 2 7 10 12
3 5 8 8 13
3 5 9 9 13
Etage 1
14 17 19 19 24
14 17 20 23 24
15 15 20 23 12
16 18 21 21 25
16 18 22 22 25
Etage 2
26 29 32 32 37
26 29 33 33 38
27 30 -1 36 38
28 31 34 34 39
28 31 35 35 40
Etage 3
41 43 45 45 37
41 43 46 49 49
27 30 46 36 50
42 44 47 47 39
42 44 48 48 40
Etage 4
51 54 56 56 61
51 54 57 60 61
52 52 57 60 50
53 55 58 58 62
53 55 59 59 62