Réciprocité quadratique nouveau

• Pour $p,q$ deux nombres premiers distincts impairs $(\frac{p}{q}) (\frac{q}{p}) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$
  
• Donc si $n= \prod_j q_j^{e_j}$ est impair et $p\nmid n$ et que tu poses $(\frac{p}{n}) = \prod_j (\frac{p}{q_j})^{e_j}$ alors
  
  $(\frac{p}{n}) (\frac{n}{p}) = \prod_j (\frac{p}{q_j})^{e_j} (\frac{q_j}{p})^{e_j} = \prod_j (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q_j-1}{2} e_j}$
  
  Mais avec cette définition $(\frac{p}{n}) $ ne regarde pas si $p$ est un carré $\bmod {\ n}$ : c'est le symbole de Jacobi.
  
• Soit $s(p \bmod n) = 1$ si $p \nmid n$ et $p$ est un carré $\bmod {\ n}$, sinon $s(p \bmod {\ n}) =0$
  
  Alors $s(p \bmod q_j^{e_j}) = s(p \bmod q_j)= \frac{(\frac{p}{q_j})+1_{p\, \nmid \, q_j}}{2}$ et $s(p \bmod n) = \prod_j s(p \bmod q_j^{e_j}) = \prod_j s(p \bmod q_j)=\prod_j \frac{(\frac{p}{q_j})+1_{p\, \nmid \, q_j}}{2}$

J'ai défini $s(p \bmod n)$ : la fonction qui renvoie $1$ si $p $ est un carré inversible $\bmod n$ et $0$ sinon. La première chose à faire c'est de montrer que $s(p \bmod n) = \prod_j s(p \bmod q_j^{e_j})$ et que pour $q_j$ premier impair alors $s(p \bmod q_j^{e_j}) = s(p \bmod q_j)$,

en utilisant le CRT pour décomposer $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}^\times $ en produit des $\mathbb{Z}/q_j^{e_j}\mathbb{Z}^\times$ puis en montrant que $\mathbb{Z}/q_j^{e_j}\mathbb{Z}^\times$ est produit de deux groupes cycliques d'ordre $q_j-1$ et $q_j^{e_j-1}$

à la fin tu obtiens que pour $p,n$ impairs $s(p \bmod n)=1$ ssi tous les $(\frac{p}{q_j})=(\frac{q_j}{p})(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q_j-1}{2}} = 1$