Théorème de Dirichlet sur $\mathbb Q_p$

Poirot · February 2019

Bonjour à tous. J'ai lu quelque part qu'il existait un analogue sur $\mathbb Q_p$ du théorème bien connu suivant :

Soit $\alpha \in \mathbb R \setminus \mathbb Q$. Alors il existe une infinité de $\frac{a}{b} \in \mathbb Q$ tels que $$\left|\alpha - \frac{a}{b}\right| < b^{-2}.$$

J'imagine que l'analogue en question ressemble à ça :

Soit $\alpha \in \mathbb Q_p \setminus \mathbb Q$. Alors il existe une infinité de $\frac{a}{b} \in \mathbb Q$ tels que $$\left|\alpha - \frac{a}{b}\right|_p <|a|_p^2.$$

Pourquoi $|a|_p^2$ et pas $|b|_p^{-2}$ ? Car $\mathbb Z$ est dense dans $\mathbb Z_p$, et donc si $\alpha \in \mathbb Z_p$ on peut toujours se débrouiller pour prendre $b=1$, auquel cas le terme $|b|_p=1$ n'a aucun intérêt. Et comme $\frac{1}{|a|_p}$ est minoré par $1$, je me suis dit qu'il valait mieux considérer son inverse.

Bref, si ce théorème est vrai, comment le montrer ? La preuve dans $\mathbb R$ passe par le principe des tiroirs dans $\mathbb R/\mathbb Z$. Comme $\mathbb Z$ est dense dans $\mathbb Z_p$, j'imagine que le quotient $\mathbb Q_p/\mathbb Z$ est assez moche et ne servira pas ici. J'avais pensé, en supposant $\alpha \in \mathbb Z_p$, ce qui ne coûte pas trop cher, et en notant $m=v_p(\alpha) \geq 0$, essayer des choses dans $\mathbb Z_p/p^m\mathbb Z_p$, mais sans succès. En regardant le développement $p$-adique $\alpha$, qui est infini par hypothèse, je ne parviens qu'à un majorant $|a|_p$. Bref, je n'ai plus trop d'idée !

Merci d'avance pour vos réponses.

Poirot · February 2019

Je redonne la preuve classique dans $\mathbb R$ si ça peut donner des idées.

Soit $N \geq 1$ un entier. Les $N+1$ nombres réels $0, \{\alpha\}, \{2\alpha\}, \dots, \{N \alpha\}$ (où $\{x\}$ désigne la partie fractionnaire de $x$) sont deux à deux distincts, sinon il existe $k, l \in \{0, \dots, N\}$ distincts tels que $(k-l)\alpha$ soit entier, ce qui est impossible puisque $\alpha$ n'est pas rationnel. Or ces réels sont tous dans $[0, 1]$, il y en a donc au moins deux à distance inférieure de $\frac{1}{N}$ (principe des tiroirs). Il s'agit maintenant juste de reformuler cela. On peut trouver $k, l \in \{0, \dots, N\}$ avec $k > l$ tels que $|\{k\alpha\} - \{l \alpha\}| \leq \frac{1}{N}.$ En notant $a = \lfloor k \alpha \rfloor$ et $b = \lfloor l \alpha \rfloor$, on a donc $|k\alpha - a - l \alpha + b| \leq \frac{1}{N},$ ou encore $$\left|\alpha - \frac{a-b}{k-l}\right| \leq \frac{1}{N(k-l)}.$$ Finalement, puisque $k - l \leq N$, on a bien trouvé $p, q$ entiers tels que $$\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| \leq \frac{1}{q^2}.$$ Au passage les inégalités larges sont en fait strictes, de nouveau parce que $\alpha$ est irrationnel. Comme $\alpha$ n'est pas rationnel, on peut trouver $N'$ entier tel que $$\frac{1}{N'} < \left|\alpha - \frac{p}{q}\right|,$$ et on recommence ce petit jeu avec $N'$.

marco · February 2019

Bonjour,

Soit $x \in \Z_p$ qui n'appartient pas à $\Z$, soit $v_p(x)=k$, alors $x=\sum_{n\geq k} u_n p^n$ avec $u_n\in \{0, \dots , p-1\}$. Pour $m\geq k$, on considère $a_m=\sum_{n=k}^m u_np^n$, alors $v_p(x-a_m)>m$. Et $a_m\in \Z$. De plus, les $(a_m)$ sont en nombre infini, car $(u_n)$ n'est pas nulle à partir d'un certain rang (car $x \notin \Z$).
De plus $v_p(a_m)=k$.

Soit $m>2k$, alors on a $v_p(x-a_m)>m>2k=2v_p(a_m)$. Donc $|x-a_m|_p<|a_m|_p^2$.

marco · February 2019

Si $x\in \Q_p$ et $v_p(x)=k<0$, alors on choisit $b=p^{-k}$, donc $v_p(bx)=0$. Soit $bx=\sum_{n\geq 0} u_n p^n$ et $a_m=\sum_{n=0}^m u_n p^n$ (pour $m>0$).

Alors $v_p(bx-a_m)>m$, et $v_p(a_m)=0$.

On choisit $m>-k$, alors $v_p(x-\frac{a_m}{b})>m+k>0=v_p(a_m)$. Donc $|x-\frac{a_m}{b}|_p<1=|a_m|_p^2$.

Et les $(a_m)$ sont en nombre infini, car $x \notin \Q$.

Poirot · February 2019

Merci marco, c'était tout bête, j'aurais du plus regarder au niveau du développement $p$-adique.

Poirot · February 2019

Je me pose maintenant de la question de s'il s'agit effectivement de la bonne généralisation du théorème de Dirichlet sur $\mathbb Q_p$. On voit que l'exposant $2$ n'a rien de particulier, et qu'on peut le remplacer par un nombre arbitrairement grand !

aurelpage · February 2019

Salut,

Le fait qu'on ait une inégalité faisant intervenir la valeur absolue archimédienne de $b$ dans le cas classique est un leurre. Ce qui importe c'est à quel point la fraction $a/b$ est compliquée par rapport à la qualité de l'approximation, ce qui est mesuré par la hauteur de $a/b$, c'est-à-dire $H(a/b) = \mathrm{max}(|a|,|b|)$ ($a,b$ supposés premiers entre eux). Les problèmes d'approximations généraux se posent en ces termes: étant donné $\alpha$ dans une complétion de $\mathbb{Q}$ et $\mu>0$ , est-ce qu'il existe une infinité de $q\in\mathbb{Q}$ tels que
\[
|\alpha-q| < H(q)^{-\mu}?
\]

Je ne sais pas quelles sont les références standard, mais par exemple en googlant 30 secondes j'ai trouvé dans ce thème:
Yann Bugeaud, Hankel determinants, Padé approximations, and irrationality exponents for p-adic numbers.

Amicalement,
Aurel

Poirot · February 2019

Merci Aurel, je commençais à sentir venir la hauteur du rationnel approximant (et j'imagine que l'on peut s'amuser à remplacer rationnel par nombre algébrique de degré donné ou quelque chose comme ça).

Du coup, un bon analogue du théorème de Dirichlet serait peut-être

Soit $\alpha \in \mathbb Q_p \setminus \mathbb Q$. Alors il existe une infinité de $\frac{a}{b} \in \mathbb Q$ tels que $$\left|\alpha - \frac{a}{b}\right| < \max(|a|_p, |b|_p)^{-2}.$$

C'est en tout cas ce que laisse penser l'article de Yann Bugeaud que tu as cité.

reuns · February 2019

Heu c'est le contraire qui est intéressant $\left|\alpha - \frac{a}{b}\right|_p < \max(|a|, |b|)^{-\mu}, (a,b) \in \mathbb{Z}, \mu = 2-\epsilon$ et qui est étudié par l'article http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/p-adic18.pdf

Poirot · February 2019

Je ne parle que du théorème de Dirichlet, qui traite de l'exposant $2$, pas de résultats plus avancés qui essayent de dire ce qu'il se passe au-delà.

Poirot · February 2019

Bon en fait je ne comprends vraiment pas. Si $\frac{a}{b} \in \mathbb Q$ alors $v_p(a), v_p(b) \geq 0$ et donc $|a|_p, |b|_p \leq 1$ et donc $\frac{1}{\max(|a|_p, |b|_p)^2} \geq 1$.

marco · February 2019

Il faut peut-être prendre le maximum de la valeur absolue habituelle de $a$ et $b$ (celle de $\Z$, et non celle de $\Z_p$): $|a|=a$ si $a\geq 0$, $|a|=-a$ si $a<0$.
Pour la différence $\alpha -\frac{a}{b}$, on prend bien par contre la valeur absolue de $\Q_p$.