Modularité courbe elliptique

Dans http://www.math.mcgill.ca/darmon/pub/Articles/Expository/05.DDT/paper.pdf p.90 il y a une bonne partie du contenu mais c'est encore un peu brouillon par rapport au bouquin sur libgen et nozdr

Je suis bien conscient que si on part d'une représentation $\rho : G_\mathbb{Q} \to GL_2(\mathbb{Z}_p)$ telle que $\bar{\rho} $ est modulaire (donc $det(1- \rho(Frob_\ell) t)^{-1} \equiv \sum_{m \ge 0} a_{\ell^m}(f) t^m \bmod \mathfrak{P}$ où $ f \in S_2(\Gamma_1(n))^{eigenform}$ donc $\bar{\rho} \simeq \bar{\rho_f}$) rien ne dit que $\rho$ sera modulaire. Mais quand $\rho$ est la représentation d'une courbe elliptique déjà c'est différent parce que $\det(1-\rho(Frob_\ell) t) \in \mathbb{Z}[t]$ et parce que (....)

Donc j'aimerais bien partir ça : quel objet permet d'avancer une fois qu'on sait que la représentation $\bar{\rho} : G_\mathbb{Q} \to Aut(E[p]) = GL_2(\mathbb{F}_p)$ est modulaire.

L'idée semble être de regarder d'une part $R_\Sigma$ le $G_\mathbb{Q} $ module qui contient toutes les représentations $G_\mathbb{Q} \to GL_2(\mathbb{Z}_p)$ qui se réduisent en $\bar{\rho}$ modulo $p$, et d'autre part $\mathbb{T}_\Sigma$ le $\mathbb{T}$-module (où $\mathbb{T}$ est l'algèbre de Hecke de $S_2(\Gamma_1(N))$) qui contient toutes les représentations dont la réduction modulo $p$ sont les coefficients de $f\bmod \mathfrak{P}$, et trouver un morphisme et un isomorphisme de l'un dans l'autre, puis d'utiliser que "forme modulaire" est synonyme de "représentation (continue dans un certain sens) de $\mathbb{T}$"

Est-ce que c'est par ça qu'il faut commencer :

Soit la variété abélienne $V = J_1(N)$ définie sur $K \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_N)$ et l'algèbre d'Hecke $ \mathbb{T} \subset End(V)$ également définie sur $K$. On prend un modèle de $V$ à coefficients dans $O_K$

On remplace $V$ par $V[p^\infty]$, on pose $L = K(V[p^\infty])$ (c'est plus simple si on peut choisir $p$ tel que $V[p^\infty] \subset V(O_L)$),

$G = Gal(L/K)$ et $R = \mathbb{Z}[G]$, on voit $R,\mathbb{T}$ comme des anneaux d'endomorphismes de $V[p^\infty]$, on les complète en $R_p =\varprojlim R/p^n= R \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}_p$ et $\mathbb{T}_p =\varprojlim \mathbb{T}/p^n= \mathbb{T}\otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}_p$.

Pour $\mathfrak{Q}$ un idéal premier de $O_L$ où $V$ a bonne réduction on pose $\mathbb{T}_\mathfrak{Q}$ le sous-anneau de $\mathbb{T}$ des endomorphismes dont les coefficients sont définis sur $(O_L-\mathfrak{Q})^{-1} O_L$ et $R_\mathfrak{Q} = \mathbb{Z}[D_\mathfrak{Q}]$ où $D_\mathfrak{Q} =\{ \sigma \in G, \sigma(\mathfrak{Q}) = \mathfrak{Q}\}$, on les complète en $\mathbb{T}_{\mathfrak{Q},p} = \mathbb{T}_\mathfrak{Q} \otimes \mathbb{Z}_p,R_{\mathfrak{Q},p} = R_\mathfrak{Q} \otimes \mathbb{Z}_p$,

et enfin la réduction modulo $\mathfrak{Q}$ de toutes ces choses ainsi que des anneaux d'endomorphismes où on a ajouté le Frobenius.

Question : Est-ce que vous savez comparer tous ces anneaux d'endomorphismes, probablement en utilisant les congruences de Shimura, les l'isogénie duales, les traces et normes, voire décrire des morphismes de l'un dans l'autre ?

Est-ce que les idées sont les mêmes que lorsqu'on remplace $J_1(N)$ et $\mathbb{T}$ par $C$ et $O_F$ où $C$ est une courbe elliptique avec CM par $O_F$, et savez-vous le faire dans ce cas supposément plus simple :

$V=C,\mathbb{T}=O_F, K = F(j(C))$, $p \ge 5, p \not \in \mathfrak{Q}$ tel que $V[p^\infty] \to V_{\bmod \mathfrak{Q}}[p^\infty]$ est un isomorphisme ?