Nombres de Fermat

Ce qui est sûr est qu'en base $10$ les nombres $u_n=2^{2^{n+2}}+1$, avec $n\geq 0$ entier, se terminent par $7$.

Démonstration (par récurrence):

A noter tout d'abord que $6^2\equiv 6\mod{10}$.

$u_0=2^4+1=17$ qui se termine bien par $7$.

On suppose que $u_n$ se termine par $7$ en base $10$.

\begin{align}u_{n+1}&=2^{2^{n+3}}+1\\
&=\left(2^{2^{n+2}}\right)^2+1\\
&=(u_n-1)^2+1\\
\end{align}

Par hypothèse de récurrence, $u_n-1\equiv 6\mod{10}$

donc, $(u_n-1)^2+1\equiv 7\mod{10}$

Ainsi, $u_{n+1}$ se termine par $7$.

et donc, pour tout $n\geq 0$, $u_n$ se termine par $7$ en base $10$.

Ce qui veut dire que les nombres de Fermat $F_n=2^{2^n}+1$ se terminent par $7$ en base $10$ pourvu que $n\geq 2$.