Nombres de Fermat
Bonjour,
Les nombres de Fermat se finissent-ils souvent par le même nombre en base $n$?
($17,257,65537$ en base $10$ car $6^2=36$ ...)
Merci,
Carl Friedrich Gauss
Les nombres de Fermat se finissent-ils souvent par le même nombre en base $n$?
($17,257,65537$ en base $10$ car $6^2=36$ ...)
Merci,
Carl Friedrich Gauss
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Réponses
Démonstration (par récurrence):
A noter tout d'abord que $6^2\equiv 6\mod{10}$.
$u_0=2^4+1=17$ qui se termine bien par $7$.
On suppose que $u_n$ se termine par $7$ en base $10$.
\begin{align}u_{n+1}&=2^{2^{n+3}}+1\\
&=\left(2^{2^{n+2}}\right)^2+1\\
&=(u_n-1)^2+1\\
\end{align}
Par hypothèse de récurrence, $u_n-1\equiv 6\mod{10}$
donc, $(u_n-1)^2+1\equiv 7\mod{10}$
Ainsi, $u_{n+1}$ se termine par $7$.
et donc, pour tout $n\geq 0$, $u_n$ se termine par $7$ en base $10$.
Ce qui veut dire que les nombres de Fermat $F_n=2^{2^n}+1$ se terminent par $7$ en base $10$ pourvu que $n\geq 2$.
$u_0=17 \equiv 8\mod{9}$
En utilisant la propriété $u_{n+1} = (u_n-1)^1 + 1$, on trouve que $u_1\equiv 5\mod{9}$
On trouve aussi $u_2\equiv 8\mod{9}$
Et par récurrence, en s'inspirant de FinDePartie, on constate qu'on alterne 8 et 5.