Von Mangoldt

$ \Gamma(s) \zeta(s) = \mathcal{M}[\frac{1}{e^{t}-1}]$

$f(s) = -(\frac{\zeta'}{\zeta}(s) +\zeta(s)) \Gamma(s) \zeta(s)= \mathcal{M}[\sum_k (\Lambda(k)-1)\frac{1}{e^{kt}-1}] $

$F( s)=f(s+1) = - (\zeta'(s+1)+\zeta(s+1)^2)\Gamma(s+1)=\mathcal{M}[h(t)]$

où $h(t) = t\sum_k (\Lambda(k)-1)\frac{1}{e^{kt}-1}] = \sum_{n=1}^\infty (\frac{\log n}{n}-\sum_{d | n} \frac{1}{d} \frac{1}{n/d})(nt e^{-nt}) = t \sum_{n=1}^\infty (\log n- \sum_{d | n} 1) e^{-nt}$

Si $\lim_{t \to 0} h(t) = h(0)$ existe alors $\lim_{s \to 0}F(s)= \lim_{s \to 0} \frac{h(0)}{s} +\int_1^\infty t^{s-1} h(t)dt+ \int_0^1 t^{s-1} (h(t)-h(0)) dt = \frac{h(0)}{s}+O(1) + o(\frac{1}{s})$ donc $h(0) = \lim_{s \to 0} s F(s)$

D'autre part on sait que $\zeta(s) = \frac{1}{s-1}+\gamma+O(s)$ donc $\lim_{s \to 0} s F(s) = -2 \gamma$

Pour montrer que $\lim_{t \to 0} h(t)$ existe, si on a déjà l'habitude des théorèmes Taubériens on peut utiliser ce que Poirot a dit,

sinon on peut montrer que $\sum_{n \le x} \log n = n \log n + An+o(n)$ et $ \sum_{n \le x} \sum_{d |n} 1 =n \log n+ Bn+o(n)$

Donc en sommant par partie $t \sum_{n \le N} (-\log n + \sum_{d |n} 1) e^{-nt} = t ( (B-A) N+o(N)) e^{-Nt} +t \sum_{n \le N-1} ( (B-A) n+o(n)) e^{-nt}(1-e^{-t}) $

et $h(t) =t \sum_{n=1}^\infty (B-A) n e^{-nt}(1-e^{-t}) (1+o(1)) = t (1-e^{-t}) (B-A) \frac{-e^{-t}}{(1-e^{-t})^2}(1+o(1)) = A-B+o(1)$

On peut aussi préciser l'approximation de $\sum_{n \le N} (-\log n + \sum_{d |n} 1)$ pour montrer directement que $B-A = -2 \gamma$

On peut déduire le théorème des nombres premiers de l'existence de cette limite.

En effet, un théorème taubérien de Hardy et Littlewood énonce :

Soit $(a_n)_n$ une suite de nombres réels tels que $na_n \geq -C$ pour tout $n \geq 0$, où $C > 0$. Si la série $\sum_n a_n$ est Lambert-sommable, c'est-à-dire si $$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n \frac{nt}{e^{nt}-1}$$ admet une limite $A$ quand $t$ tend vers $0^-$, alors la série $\sum_n a_n$ converge vers $A$.

En prenant $a_n = \frac{\Lambda(n)-1}{n}$, on a bien $na_n \geq -1$ pour tout $n \geq 1$, et donc on a $$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\Lambda(n)-1}{n} = -2\gamma.$$ Pour $n \geq 1$, je note $$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{\Lambda(n)-1}{n}.$$ Alors d'après le théorème de Cesàro, on a $$S_n - \frac{S_1 + \dots + S_{n-1}}{n} = \frac{a_1 + 2a_2 + \dots + na_n}{n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0,$$ ou encore, au vu de la définition de $a_n$, $$\frac{\Lambda(1)-1 + \Lambda(2)-1 + \dots + \Lambda(n) - 1}{n} = \frac{\psi(n) - n}{n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0,$$ ce qui est bien connu pour être équivalent au théorème des nombres premiers.