Von Mangoldt
dans Arithmétique
Bonjour
J'ai lu dans un livre que $$
\lim_{t \rightarrow 0^+}\sum_{k=1}^{\infty} (\Lambda(k)-1)\frac{t}{\exp(kt)-1}=-2\gamma ,
$$ où $\Lambda$ est la fonction de Von Mangoldt qui vaut $\Lambda(n)=\log p$ si $n=p^a$, $p$ premier et $\Lambda(n)=0$ autrement et $\gamma$ est la constante d'Euler. Malheureusement ce résultat n'est pas démontré. Quelqu'un sait-il le démontrer où connaît une référence ?
Merci.
J'ai lu dans un livre que $$
\lim_{t \rightarrow 0^+}\sum_{k=1}^{\infty} (\Lambda(k)-1)\frac{t}{\exp(kt)-1}=-2\gamma ,
$$ où $\Lambda$ est la fonction de Von Mangoldt qui vaut $\Lambda(n)=\log p$ si $n=p^a$, $p$ premier et $\Lambda(n)=0$ autrement et $\gamma$ est la constante d'Euler. Malheureusement ce résultat n'est pas démontré. Quelqu'un sait-il le démontrer où connaît une référence ?
Merci.
Réponses
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Il faut certainement passer par un calcul de résidu. Je note $$w : t \mapsto \frac{t}{(\exp t -1)}.$$ Par les méthodes classiques de théorie analytique des nombres (mots clés : transformée de Mellin, formule de Perron, formules sommatoires), on réécrit $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\Lambda(k)-1}{k} w\left(kt\right) = \frac{1}{2i \pi} \int_{c-i\infty}^{c+i \infty} F(s) \hat{w}(s) t^{-s} \,ds,$$ où $c >0$ est un réel convenable, $$F : s \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\Lambda(n)-1}{n^{s+1}} = -\frac{\zeta'}{\zeta}(s+1)-\zeta(s+1)$$ et $$\hat{w} : s \mapsto \int_0^{+\infty} w(x) x^{s-1} \,dx,$$ puis on décale la droite d'intégration vers la gauche pour obtenir une contribution du pôle en $0$.
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$ \Gamma(s) \zeta(s) = \mathcal{M}[\frac{1}{e^{t}-1}]$
$f(s) = -(\frac{\zeta'}{\zeta}(s) +\zeta(s)) \Gamma(s) \zeta(s)= \mathcal{M}[\sum_k (\Lambda(k)-1)\frac{1}{e^{kt}-1}] $
$F( s)=f(s+1) = - (\zeta'(s+1)+\zeta(s+1)^2)\Gamma(s+1)=\mathcal{M}[h(t)]$
où $h(t) = t\sum_k (\Lambda(k)-1)\frac{1}{e^{kt}-1}] = \sum_{n=1}^\infty (\frac{\log n}{n}-\sum_{d | n} \frac{1}{d} \frac{1}{n/d})(nt e^{-nt}) = t \sum_{n=1}^\infty (\log n- \sum_{d | n} 1) e^{-nt}$
Si $\lim_{t \to 0} h(t) = h(0)$ existe alors $\lim_{s \to 0}F(s)= \lim_{s \to 0} \frac{h(0)}{s} +\int_1^\infty t^{s-1} h(t)dt+ \int_0^1 t^{s-1} (h(t)-h(0)) dt = \frac{h(0)}{s}+O(1) + o(\frac{1}{s})$ donc $h(0) = \lim_{s \to 0} s F(s)$
D'autre part on sait que $\zeta(s) = \frac{1}{s-1}+\gamma+O(s)$ donc $\lim_{s \to 0} s F(s) = -2 \gamma$
Pour montrer que $\lim_{t \to 0} h(t)$ existe, si on a déjà l'habitude des théorèmes Taubériens on peut utiliser ce que Poirot a dit,
sinon on peut montrer que $\sum_{n \le x} \log n = n \log n + An+o(n)$ et $ \sum_{n \le x} \sum_{d |n} 1 =n \log n+ Bn+o(n)$
Donc en sommant par partie $t \sum_{n \le N} (-\log n + \sum_{d |n} 1) e^{-nt} = t ( (B-A) N+o(N)) e^{-Nt} +t \sum_{n \le N-1} ( (B-A) n+o(n)) e^{-nt}(1-e^{-t}) $
et $h(t) =t \sum_{n=1}^\infty (B-A) n e^{-nt}(1-e^{-t}) (1+o(1)) = t (1-e^{-t}) (B-A) \frac{-e^{-t}}{(1-e^{-t})^2}(1+o(1)) = A-B+o(1)$
On peut aussi préciser l'approximation de $\sum_{n \le N} (-\log n + \sum_{d |n} 1)$ pour montrer directement que $B-A = -2 \gamma$ -
Merci Poirot et reuns pour cette solution détaillée.
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Je viens de comprendre en tombant sur le procédé de sommation de Lambert et un changement de variable.
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On peut déduire le théorème des nombres premiers de l'existence de cette limite.
En effet, un théorème taubérien de Hardy et Littlewood énonce :Soit $(a_n)_n$ une suite de nombres réels tels que $na_n \geq -C$ pour tout $n \geq 0$, où $C > 0$. Si la série $\sum_n a_n$ est Lambert-sommable, c'est-à-dire si $$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n \frac{nt}{e^{nt}-1}$$ admet une limite $A$ quand $t$ tend vers $0^-$, alors la série $\sum_n a_n$ converge vers $A$.
En prenant $a_n = \frac{\Lambda(n)-1}{n}$, on a bien $na_n \geq -1$ pour tout $n \geq 1$, et donc on a $$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\Lambda(n)-1}{n} = -2\gamma.$$ Pour $n \geq 1$, je note $$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{\Lambda(n)-1}{n}.$$ Alors d'après le théorème de Cesàro, on a $$S_n - \frac{S_1 + \dots + S_{n-1}}{n} = \frac{a_1 + 2a_2 + \dots + na_n}{n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0,$$ ou encore, au vu de la définition de $a_n$, $$\frac{\Lambda(1)-1 + \Lambda(2)-1 + \dots + \Lambda(n) - 1}{n} = \frac{\psi(n) - n}{n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0,$$ ce qui est bien connu pour être équivalent au théorème des nombres premiers. -
Bon, en vrai c'est de la triche puisque le théorème taubérien cité est en fait équivalent à la non annulation de la fonction $\zeta$ sur $$\{s \in \mathbb C \mid \mathfrak{Re}(s)=1\}.$$
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