Je vois d'ici le tableau !

J'ai cherché une solution avec $x$ multiple de 11 mais pas de 3, et $y$ multiple de 9 mais pas de 11.

Ouch, j'ai dû rater une marche. Same player, shoot again!

[(7, 18), (11, 94), (16, 90), (22, 6), (25, 63), (34, 36), (43, 9), (44, 28),
(52, 81), (55, 39), (61, 54), (70, 27), (77, 61), [b](88, 72)[/b], (97, 45)]

À la main ? Non. Avec l'ordinateur, il suffit de faire défiler les $99^2$ couples $(x,y)$ et de tester si 1) $4x+5y=19\pmod{99}$ et 2) l'ensemble des $\{(ax+by)\%99\,:\ 0\le a\le 8\ \text{et}\ 0\le b\le 10\}$ a $99$ éléments (où $u\%v$ est le reste de la division de $u$ par $v$).

Bonsoir,
@Sneg,

A la main on peut trouver les 6 solutions à partir d'un seul raisonnement qui correspondent au cas où $x$ est un multiple de $11$ mais pas de $3$.

Al-Kashi

Il s'agit en fait de prouver le résultat suivant:

Lemme:
$(x,y)$ vérifie les deux conditions si et seulement si $x$ est un multiple de $11$ et n'est pas un multiple de $3$ ou si $y$ est un multiple de $9$ et n'est pas un multiple de $11$.

Preuve que la condition est suffisante:
$\bullet$ Supposons que $x=11k$ avec $3\not\mid k$
La condition $4x+5y \equiv 19$ est équivalente à $y \equiv 19x+83$
Supposons que $ax+by \equiv a'x+b'y$. On aurait alors $x(a-a'+19(b-b')) \equiv 83 (b'-b)$ soit $11k(a-a'+19(b-b')) \equiv 83 (b'-b)$. En multipliant par $9$ cela donne $83*9 (b-b') \equiv 0$.
Or, d'après le d'après le tableau $-10 \leq b-b' \leq 10$. On a donc $b=b'$. On obtient alors $11k(a-a')\equiv 0$.
$k$ étant premier avec $3$, on a alors $a-a' \equiv 0 \mod (9)$. Or d'après le tableau $-8 \leq a-a' \leq 8$. Ceci implique donc que $a=a'$. En conclusion toutes les valeurs du tableau sont distinctes et tout couple de la forme $(11k,11k+83)$ tel que $3\not\mid k$ vérifie les conditions.
$\bullet$ Supposons que $y=9k$ avec $0<k<11$.
La condition $4x+5y \equiv 19$ est équivalente à $x \equiv 73y+79$.
Supposons que $ax+by \equiv a'x+b'y$. On aurait alors $y(b-b'+73(a-a')) \equiv 79 (a'-a)$ soit $9k(b-b'+73(a-a')) \equiv 79 (a'-a)$. En multipliant par $11$ cela donne $79*11 (a'-a) \equiv 0$. Pour les mêmes raisons que plus haut, $a=a'$. On obtiendrait alors $9k(b-b') \equiv 0$ et $k$ étant premier avec $11$ on aurait alors $b-b' \equiv 0 (11)$. Ainsi $b=b'$.
En conclusion toutes les valeurs du tableau sont distinctes et tout couple de la forme $( 63k+79,9k)$ avec $0<k<11$ vérifie les conditions.

On retrouve ainsi toutes les solutions postées par MathCoss.


Preuve que la condition est nécessaire:

En cours de réflexion.


Al-Kashi