Une dérivation arithmétique

La dérivée arithmétique est connue : https://fr.wikipedia.org/wiki/Dérivée_arithmétique

Je propose une autre façon de dériver : la dérivée du $k$-ième premier est le premier d'avant : $(p_k)'=p_{k-1}$ si $k>1$ ; et $(2)'=0$.
Avec la règle$(ab)'=a'b+ab'$, on trouve $1'=0$, et par exemple $2019'=(3\times 673)'=3'\times 673+3\times 673'$. Soit $2019'=2\times 673 +3\times 661=3329$.
Puisque $3329=p_{469}$, on peut dire que $2019^{(470)}=0$.

Remarques :
1) L'équation $n'=1$ n'a pas de solution ( pas plus que $n'=9$ )
2) $27'=54$ ; $27''=27\times 4$ ; . . .
3) S'il y a une infinité de nombres premiers jumeaux alors l'équation $n-n'=2$ possède une infinité de solutions.
4) On peut étendre aux rationnels en posant $(\frac pq)'=\frac{p'q-pq'}{q^2}$.
Si vous avez des idées de propriétés . . .

Dans ce dessin, la grosse flèche maladroite correspond à la dérivation.