Problème d'arithmétique

Sans quantification on peut avoir ça n'importe quand.

Si $n$ est une valeur fixée $\ell(n)$ tend vers 0 n'a pas de sens. La question est mal posée.

En prenant les logarithmes des trois nombres, on a un problème équivalent (à condition de savoir de quoi on parle, quel est l'énoncé véritable, la vraie question).

Cordialement.

Autrement dit, tu poses une question floue où tu décides toi-même ce qu'est $\ell(n)$ ? Puisque c'est toi qui décides, commence par poser sérieusement un problème, avec une question claire.
par exemple :

Pour quelles valeurs de l'entier n existe-t-il un entier m tel que $e ^n <2^m<e^n+\frac 1 {e^n}$ ?

Et commence à la traiter, on peut t'aider, je t'ai proposé une idée, tu n'en as rien dit. Autre idée : explorer ce qui se passe pour les petites valeurs de n.

Et pourquoi veux-tu traiter ce sujet ???

l(n) signifie t-il ici logarithme de n ?

J'ai bien l'impression que non, enfin j'espère.

Peut être la question est-elle celle ci: Peut on trouver n tel que 1 < 2^m / e^n <1+epsilon, epsilon aussi petit que l'on veut ?
La réponse est évidemment oui.

Peut être y a t-il une condition sur epsilon, du genre 1/e^n ?

Des exemples avec n petit :
$e^2\approx 7,39<2^3<e^2+2$
$e^3\approx 20$ pas de puissance de 2 à proximité.
$e^4\approx 54,6$ idem
$e^5\approx 148,4$ idem
$e^6\approx 403,4$ idem
$e^7\approx 1096,6$ un peu au dessus de $2^{10}$
Les suivants sont environ 2980, 8103 (raté de peu), 22026, 59874, 162755, 442413, 3269017, et sont (sauf $e^9$) très éloignés des puissances de 2. Donc à part n=0,1, 2, pas de cas pour $n\le 15$

C'est qu'entre 2 puissances de 2, il y a de très nombreux nombres possibles (entre $2^n$ et $2^{n+1}$ il y a $2^n-1$ autres entiers, donc de très nombreux intervalles de longueur n où peuvent se placer les puissances de e.

Saurais-tu donner un exemple de n >15 tel qu'il existe un m avec $e ^ n < 2 ^ m < e ^ n + n$ ?

Cordialement.