Suite et arithmétique

Bonjour,
Il y a par exemple cet argument:
Soit $E:=\{ n \in \N^* | u_n \equiv 0 \mod 7 \}.\:\:$ Alors:$\:\:\: 5 \in E\:$ donc $E\: \neq \emptyset $.
Soit $n \in E\:\:$ et notons $\:\:u_{2n-1} =a, \: u_{4n-3} =b.\:\:\:\:$
Alors: $\:\:u_{2n-1} \equiv u_{2n} \equiv u_{2n+1} \equiv a \mod 7$ et $\:\: \forall k \in [\![-3;3]\!] ,\: u_{4n+k} \equiv b +ka \mod 7$.
Si $a\not\equiv 0 \mod7$, alors $\exists k \in [\![-3;3]\!]$ tel que $b+ka \equiv 0 \mod 7 $.
Ainsi, dans tous les cas, il existe un entier $N>n$, tel que $u_N \equiv 0 \mod 7 $ et $E$ est un ensemble infini.