Corps cyclotomique, corps réel maximal
dans Arithmétique
Bonjour, j'ai pas compris la chose suivante.
On sait que Masley a donné des résultats sur le nombre de classes de certains corps cyclotomiques, en particulier ceux qui ont le nombre de classes égal à $1$. Dans le livre de Washington on trouve le résultat suivant (Theorem 8.2 )
$h_{p^m}^+=[E_{p^n}^+:C_{p^n}^+]$ avec $h_{p^m}^+$ est le nombre de classes de $\mathbb{Q}(\zeta_{p^n})^+$, $E_{p^n}^+$ le groupe des unités de $\mathbb{Q}(\zeta_{p^n})^+$ et $C_{p^n}^+$ le groupe des unités cyclotomiques de $\mathbb{Q}(\zeta_{p^n})^+$
Donc savoir des plus d'information sur le groupe des unités de ce corps revient à savoir $h_{p^m}^+$.
Si $h_{p^m}$ est le nombre de classes de $\mathbb{Q}(\zeta_{p^n})$ et $ E_{p^n}$ son groupe des unités.
Est-que l'on n'est pas dans la situation : pour savoir $A$ il faut savoir $B$, et pour savoir $B$ in faut savoir $A$ ??
$h_{p^m} \rightarrow E_{p^n} \rightarrow E_{p^n}^+ \rightarrow C_{p^n}^+ \rightarrow h_{p^m}^+ \rightarrow h_{p^m}$.
Questions.
2) Est-ce qu'il y a une relation claire entre $h_{p^m}$ et $h_{p^m}^+$ ?
3) Est-ce que si $h_{p^m}=1$ alors $h_{p^m}^+=1$ ?
4) Est-ce que si $h_{p^m}$ est impair alors $h_{p^m}^+$ est aussi impair ?
Merci de m'expliquer la situation ou de répondre à mes questions.
On sait que Masley a donné des résultats sur le nombre de classes de certains corps cyclotomiques, en particulier ceux qui ont le nombre de classes égal à $1$. Dans le livre de Washington on trouve le résultat suivant (Theorem 8.2 )
$h_{p^m}^+=[E_{p^n}^+:C_{p^n}^+]$ avec $h_{p^m}^+$ est le nombre de classes de $\mathbb{Q}(\zeta_{p^n})^+$, $E_{p^n}^+$ le groupe des unités de $\mathbb{Q}(\zeta_{p^n})^+$ et $C_{p^n}^+$ le groupe des unités cyclotomiques de $\mathbb{Q}(\zeta_{p^n})^+$
Donc savoir des plus d'information sur le groupe des unités de ce corps revient à savoir $h_{p^m}^+$.
Si $h_{p^m}$ est le nombre de classes de $\mathbb{Q}(\zeta_{p^n})$ et $ E_{p^n}$ son groupe des unités.
Est-que l'on n'est pas dans la situation : pour savoir $A$ il faut savoir $B$, et pour savoir $B$ in faut savoir $A$ ??
$h_{p^m} \rightarrow E_{p^n} \rightarrow E_{p^n}^+ \rightarrow C_{p^n}^+ \rightarrow h_{p^m}^+ \rightarrow h_{p^m}$.
Questions.
2) Est-ce qu'il y a une relation claire entre $h_{p^m}$ et $h_{p^m}^+$ ?
3) Est-ce que si $h_{p^m}=1$ alors $h_{p^m}^+=1$ ?
4) Est-ce que si $h_{p^m}$ est impair alors $h_{p^m}^+$ est aussi impair ?
Merci de m'expliquer la situation ou de répondre à mes questions.
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Réponses
Ce qui suit est valide pour n'importe quel corps à multiplication complexe $K$. Je note $\kappa_K$ et $\kappa_{K^+}$ les résidus respectifs au point $s=1$ des fonctions zêta de Dedekind des corps $K$ et $K^+$. Alors
$$h_K^- = w_K Q_K \times \frac{n}{2(2 \pi)^n} \times \frac{\kappa_K}{\kappa_{K^+}} \times \sqrt{\frac{d_K}{d_{K^+}}}$$
où $Q_K \in \{1,2 \}$ est l'indice des unités de Hasse de $K$.