Congruences
dans Arithmétique
J'aimerais démontrer que $3x+10 \equiv 7 (5) \Leftrightarrow 3x \equiv 2 (5)$. Est-ce que quelqu'un peut confirmer si mon raisonnement est correct ?
Je commence par démontrer l'implication.
$\left\{
\begin{array}{rcr}
3x+10 & \equiv & 7 (5) \\
-10 & \equiv & -5 (5) \\
\end{array}
\right.
\Rightarrow 3x+10-10 \equiv 7-5 (5) \Leftrightarrow 3x \equiv 2 (5)$
Mais comme $-10 \equiv -5 (5)$ est toujours vrai le système est équivalent à juste $3x+10 \equiv 7 (5)$. On a donc $3x+10 \equiv 7 (5) \Rightarrow 3x \equiv 2 (5)$
Finalement je fais pas la réciproque mais c'est le même principe.
Je commence par démontrer l'implication.
$\left\{
\begin{array}{rcr}
3x+10 & \equiv & 7 (5) \\
-10 & \equiv & -5 (5) \\
\end{array}
\right.
\Rightarrow 3x+10-10 \equiv 7-5 (5) \Leftrightarrow 3x \equiv 2 (5)$
Mais comme $-10 \equiv -5 (5)$ est toujours vrai le système est équivalent à juste $3x+10 \equiv 7 (5)$. On a donc $3x+10 \equiv 7 (5) \Rightarrow 3x \equiv 2 (5)$
Finalement je fais pas la réciproque mais c'est le même principe.
Réponses
-
Tu ne raisonnes pas par équivalence, au moins formellement.
Ne serait-ce pas plus simple de modifier l'égalité modulaire initiale en lui appliquant une règle de transformation qui garantit que l'égalité modulaire obtenue après transformation est équivalente à la précédente?
NB:
$-3\equiv 2 \mod{5}$ -
Mais si je démontre l'implication et la réciproque je démontre l'equivalence, non ?
Sinon je peux soustraire avant 10 de chaque côté mais je me retrouve face au même problème.
$3x + 10 \equiv 7 \mod{5} \Leftrightarrow 3x + 10 - 10 \equiv 7 - 10 \mod{5} \Leftrightarrow 3x \equiv -3 \mod{5}$
$\left\{
\begin{array}{rcr}
3x & \equiv & -3 \mod{5} \\
-3 & \equiv & 2 \mod{5} \\
\end{array}
\right.
\Rightarrow 3x \equiv 2 \mod{5}$ -
Bonsoir Note
Tu raisonnes modulo $5$. Alors
$10=0\pmod 5$
$7=2\pmod 5$
Donc $3x+10=7\pmod 5$ s'écrit $3x+0=2\pmod 5$.
C'est juste une question de choix de représentant dans les classes modulo $5$.
Alain -
Note:
Quand on prétend démontrer une équivalence, dès qu'on voit un $=>$ on est en droit de se demander où est le raisonnement où il y aura un "<=".
Pour le reste, le calcul sur les congruences manipule des représentants de classes d'équivalence.
Au cours d'un calcul il est légitime de changer de représentant d'une classe d'équivalence modulo 5 (ici)
Comme déjà indiqué $-3$ et $2$ sont dans la même classe d'équivalence modulo $5$ car $(-3)-2$ est divisible par $5$.
Du point de vue des congruences modulo $5$ ces deux nombres sont "égaux" (note l'emploi des guillemets) car on peut remplacer l'un par l'autre dans un calcul de congruences. -
J'essaye justement de montrer qu'on a le droit de remplacer $-3$ par $+2$ mais je pense que j'aurai dû revenir directement à la définition de base.
$3x+10 \equiv 7 \mod{5} \Leftrightarrow 3x+10=7k+5$
$10 \equiv 0 \mod{5} \Leftrightarrow 10 = 5k'$ et $7 \equiv 2 \mod{5} \Leftrightarrow 7=2+5k''$
En remplaçant on obtient :
$3x + 5k' = 2 + 5k'' +5k \Leftrightarrow 3x = 2 + 5(k''+k-k') \Leftrightarrow 3x \equiv 2 \mod{5}$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres