Congruences

Note · March 2019

J'aimerais démontrer que $3x+10 \equiv 7 (5) \Leftrightarrow 3x \equiv 2 (5)$. Est-ce que quelqu'un peut confirmer si mon raisonnement est correct ?

Je commence par démontrer l'implication.
$\left\{
\begin{array}{rcr}
3x+10 & \equiv & 7 (5) \\
-10 & \equiv & -5 (5) \\
\end{array}
\right.
\Rightarrow 3x+10-10 \equiv 7-5 (5) \Leftrightarrow 3x \equiv 2 (5)$
Mais comme $-10 \equiv -5 (5)$ est toujours vrai le système est équivalent à juste $3x+10 \equiv 7 (5)$. On a donc $3x+10 \equiv 7 (5) \Rightarrow 3x \equiv 2 (5)$

Finalement je fais pas la réciproque mais c'est le même principe.

Fin de partie · March 2019

Tu ne raisonnes pas par équivalence, au moins formellement.

Ne serait-ce pas plus simple de modifier l'égalité modulaire initiale en lui appliquant une règle de transformation qui garantit que l'égalité modulaire obtenue après transformation est équivalente à la précédente?

NB:
$-3\equiv 2 \mod{5}$

Note · March 2019

Mais si je démontre l'implication et la réciproque je démontre l'equivalence, non ?

Sinon je peux soustraire avant 10 de chaque côté mais je me retrouve face au même problème.
$3x + 10 \equiv 7 \mod{5} \Leftrightarrow 3x + 10 - 10 \equiv 7 - 10 \mod{5} \Leftrightarrow 3x \equiv -3 \mod{5}$

$\left\{
\begin{array}{rcr}
3x & \equiv & -3 \mod{5} \\
-3 & \equiv & 2 \mod{5} \\
\end{array}
\right.
\Rightarrow 3x \equiv 2 \mod{5}$

AD · March 2019

Bonsoir Note
Tu raisonnes modulo $5$. Alors
$10=0\pmod 5$
$7=2\pmod 5$
Donc $3x+10=7\pmod 5$ s'écrit $3x+0=2\pmod 5$.
C'est juste une question de choix de représentant dans les classes modulo $5$.
Alain

Fin de partie · March 2019

Note:

Quand on prétend démontrer une équivalence, dès qu'on voit un $=>$ on est en droit de se demander où est le raisonnement où il y aura un "<=".

Pour le reste, le calcul sur les congruences manipule des représentants de classes d'équivalence.

Au cours d'un calcul il est légitime de changer de représentant d'une classe d'équivalence modulo 5 (ici)
Comme déjà indiqué $-3$ et $2$ sont dans la même classe d'équivalence modulo $5$ car $(-3)-2$ est divisible par $5$.

Du point de vue des congruences modulo $5$ ces deux nombres sont "égaux" (note l'emploi des guillemets) car on peut remplacer l'un par l'autre dans un calcul de congruences.

Note · March 2019

J'essaye justement de montrer qu'on a le droit de remplacer $-3$ par $+2$ mais je pense que j'aurai dû revenir directement à la définition de base.

$3x+10 \equiv 7 \mod{5} \Leftrightarrow 3x+10=7k+5$

$10 \equiv 0 \mod{5} \Leftrightarrow 10 = 5k'$ et $7 \equiv 2 \mod{5} \Leftrightarrow 7=2+5k''$

En remplaçant on obtient :

$3x + 5k' = 2 + 5k'' +5k \Leftrightarrow 3x = 2 + 5(k''+k-k') \Leftrightarrow 3x \equiv 2 \mod{5}$

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