Exercice sur les $p$-adiques

Bonjour
Dans le cadre d'un cours de théorie des nombres, je dois résoudre l'exercice suivant.

Montrer que le polynôme $P(X,Y) = X^2 - 34Y^2 + 1 $ admet des zéros dans $\Bbb Z_p\times \Bbb Z_p$ pour tout $p$ premier.

Je distingue d'abord $p \ne 2, 17$.
Dans ce cas, $P(X,Y) - 1 $ vu modulo $p$ est une forme quadratique non-dégénérée.
Une telle forme représente tout élément de $F_p$, donc il existe $(x,y) \ne (0,0) \in F_p \times F_p $ tel que $P(x,y) = 0$.
Dès lors l'une de deux dérivées partielles de $P$ est non-nulle en $(x,y)$, disons que c'est $\frac{\partial P}{\partial X}$.
Alors j'applique le lemme de Hensel au polynôme $P(X,y)$. J'en déduis l'existence d'un unique $a \in \Bbb Z_p$ tel que $P(a,y) = 0$ et $a \equiv x \pmod p$. Alors $(a,y)$, (ou $y$ est vu comme élément de $\Bbb Z_p )$ me fournit une solution.

Pouvez-vous me dire si le raisonnement précédent est correct ? Plus précisément quand je dis qu'on voit $y \in F_p$ comme un élément de $\Bbb Z_p$, je ne suis pas sûr de cette assertion. Disons que pour moi si $k \in \Bbb Z$ représente $y$, alors "$y \in F_p$ vu dans $\Bbb Z_p$" est simplement l'entier résiduel de $k$ compris entre $0$ et $p-1$. Cela est-il bon ?

Je regarde maintenant $p=17$. Je pense avoir une idée. Je remarque que $ \left(\frac{-1}{17} \right) = 1$, donc il exitse $x_0 \in F_p$ tel que $-1 = x_0^2$. Donc $X^2 + 1$, qui est la réduction modulo $17$ de $P$, possède $x_0$ comme solution et sa dérivée évaluée en $x_0$ est non-nulle, donc encore par Hensel je trouve $x \in \Bbb Z_{17}$ tel que $x^2 + 1 = 0$, et donc $(x,0)$ fournit une solution.

Pour $p=2$ je n'ai pas d'idée pour démarrer et sollicite une aide charitable. Ma seule piste est d'imiter les cas précédents en trouvant avant tout une solution $\mod 2$, puis la faire remonter dans $\Bbb Z_2$ par Hensel.

Merci pour vos réponses et votre indulgence, je débute tout juste avec les $p$-adiques.
Merci