Exercice sur les $p$-adiques
dans Arithmétique
Bonjour
Dans le cadre d'un cours de théorie des nombres, je dois résoudre l'exercice suivant.
Montrer que le polynôme $P(X,Y) = X^2 - 34Y^2 + 1 $ admet des zéros dans $\Bbb Z_p\times \Bbb Z_p$ pour tout $p$ premier.
Je distingue d'abord $p \ne 2, 17$.
Dans ce cas, $P(X,Y) - 1 $ vu modulo $p$ est une forme quadratique non-dégénérée.
Une telle forme représente tout élément de $F_p$, donc il existe $(x,y) \ne (0,0) \in F_p \times F_p $ tel que $P(x,y) = 0$.
Dès lors l'une de deux dérivées partielles de $P$ est non-nulle en $(x,y)$, disons que c'est $\frac{\partial P}{\partial X}$.
Alors j'applique le lemme de Hensel au polynôme $P(X,y)$. J'en déduis l'existence d'un unique $a \in \Bbb Z_p$ tel que $P(a,y) = 0$ et $a \equiv x \pmod p$. Alors $(a,y)$, (ou $y$ est vu comme élément de $\Bbb Z_p )$ me fournit une solution.
Pouvez-vous me dire si le raisonnement précédent est correct ? Plus précisément quand je dis qu'on voit $y \in F_p$ comme un élément de $\Bbb Z_p$, je ne suis pas sûr de cette assertion. Disons que pour moi si $k \in \Bbb Z$ représente $y$, alors "$y \in F_p$ vu dans $\Bbb Z_p$" est simplement l'entier résiduel de $k$ compris entre $0$ et $p-1$. Cela est-il bon ?
Je regarde maintenant $p=17$. Je pense avoir une idée. Je remarque que $ \left(\frac{-1}{17} \right) = 1$, donc il exitse $x_0 \in F_p$ tel que $-1 = x_0^2$. Donc $X^2 + 1$, qui est la réduction modulo $17$ de $P$, possède $x_0$ comme solution et sa dérivée évaluée en $x_0$ est non-nulle, donc encore par Hensel je trouve $x \in \Bbb Z_{17}$ tel que $x^2 + 1 = 0$, et donc $(x,0)$ fournit une solution.
Pour $p=2$ je n'ai pas d'idée pour démarrer et sollicite une aide charitable. Ma seule piste est d'imiter les cas précédents en trouvant avant tout une solution $\mod 2$, puis la faire remonter dans $\Bbb Z_2$ par Hensel.
Merci pour vos réponses et votre indulgence, je débute tout juste avec les $p$-adiques.
Merci
Dans le cadre d'un cours de théorie des nombres, je dois résoudre l'exercice suivant.
Montrer que le polynôme $P(X,Y) = X^2 - 34Y^2 + 1 $ admet des zéros dans $\Bbb Z_p\times \Bbb Z_p$ pour tout $p$ premier.
Je distingue d'abord $p \ne 2, 17$.
Dans ce cas, $P(X,Y) - 1 $ vu modulo $p$ est une forme quadratique non-dégénérée.
Une telle forme représente tout élément de $F_p$, donc il existe $(x,y) \ne (0,0) \in F_p \times F_p $ tel que $P(x,y) = 0$.
Dès lors l'une de deux dérivées partielles de $P$ est non-nulle en $(x,y)$, disons que c'est $\frac{\partial P}{\partial X}$.
Alors j'applique le lemme de Hensel au polynôme $P(X,y)$. J'en déduis l'existence d'un unique $a \in \Bbb Z_p$ tel que $P(a,y) = 0$ et $a \equiv x \pmod p$. Alors $(a,y)$, (ou $y$ est vu comme élément de $\Bbb Z_p )$ me fournit une solution.
Pouvez-vous me dire si le raisonnement précédent est correct ? Plus précisément quand je dis qu'on voit $y \in F_p$ comme un élément de $\Bbb Z_p$, je ne suis pas sûr de cette assertion. Disons que pour moi si $k \in \Bbb Z$ représente $y$, alors "$y \in F_p$ vu dans $\Bbb Z_p$" est simplement l'entier résiduel de $k$ compris entre $0$ et $p-1$. Cela est-il bon ?
Je regarde maintenant $p=17$. Je pense avoir une idée. Je remarque que $ \left(\frac{-1}{17} \right) = 1$, donc il exitse $x_0 \in F_p$ tel que $-1 = x_0^2$. Donc $X^2 + 1$, qui est la réduction modulo $17$ de $P$, possède $x_0$ comme solution et sa dérivée évaluée en $x_0$ est non-nulle, donc encore par Hensel je trouve $x \in \Bbb Z_{17}$ tel que $x^2 + 1 = 0$, et donc $(x,0)$ fournit une solution.
Pour $p=2$ je n'ai pas d'idée pour démarrer et sollicite une aide charitable. Ma seule piste est d'imiter les cas précédents en trouvant avant tout une solution $\mod 2$, puis la faire remonter dans $\Bbb Z_2$ par Hensel.
Merci pour vos réponses et votre indulgence, je débute tout juste avec les $p$-adiques.
Merci
Réponses
-
Bonjour,
L' équation $x^2 + 34y^2 +1 =0$ ne possède pas de solution dans $\Z/8\Z \times \Z/8\Z$. Il lui sera donc difficile d'en avoir dans $\Z_2 \times \Z_2$.
Les réponses que tu as fournies pour les autres valeurs de $p$ sont tout à fait convenables. -
Merci LOU16 pour ta réponse. Je m'excuse, j'ai mal recopié l'énoncé, le polynôme à considérer est $P(X,Y) = X^2 - 34Y^2 +1$ (je le corrige dans mon premier post). Celui-ci à $(1,1)$ comme solution dans $\Z/8\Z \times \Z/8\Z$.
Vraiment désolé pour la confusion. -
Re,
Dans ce cas, on peut procéder comme dans la preuve du lemme de Hensel en construisant une suite d'entiers $(x_n)_{n\geqslant 3}$ telle que : $ \:\:\forall n \geqslant 3 ,\: \: x_{n+1}\equiv x_n \mod 2 ^{n-1},\:\: $ et $\: x_n^2 \equiv 33 \mod 2^n$
Dans ces conditions, avec $x=\displaystyle \lim_{n \infty} x_n\:$ et $\:\:y=1, \:\:\:$ on aura: $\boxed{\: x^2 -34 y^2 +1 =0 }$
Soit donc $x_3 =1$ et pour $n \geqslant 3$ , supposons défini $x_n \in \N$, tel que $x_n^2 \equiv 33 \mod 2^n$.
Cherchons $a_n \in \{0,1\}$ tel que $ (x_n + 2^{n-1} a_n)^2 \equiv 33 \mod 2 ^{n+1}$. Cela équivaut à $ \dfrac {x_n^2 -33}{2^n} +a_nx_n \equiv 0 \mod2$.
$x_n$ étant impair, un tel $a_n$ existe, et on définit $x_{n+1} = x_n + 2^{n-1}a_n,\:\:\:$ qui satisfait ainsi aux conditions énoncées plus haut. -
Si on croit au principe de Hasse, une autre solution, un peu bourrin en général, mais facile dans ce cas particulier, consiste à chercher suffisamment de solutions entières à l'équation $x^2 -34y^2 +z^2=0$. Par exemple $(5,1,3)$, qui donne des solutions dans les ${\mathbb Z}_p$, $p\not= 3$ (diviser par $z^2$) et $(3,1,5)$ qui donne des solutions dans les ${\mathbb Z}_p$, $p\not= 5$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres