Une vérification

Bonjour.

C'est assez bizarre que tu recopies 5 fois (n-1)-(n'-1) qui vaut (classe de cinquième) n-n'. Et que tu ne simplifies pas immédiatement par $R_1$. Ça jette un doute sur la suite.

Par contre, une fois simplifié, on peut tenir ce raisonnement. Pour ma part (*), j'aurais tiré de l'hypothèse, après simplifications :
$(n-n')bq\equiv 0 \pmod {pq}$
donc il existe un entier $k$ tel que
$(n-n')bq=kpq$ et, comme $q$ est non nul
$(n-n') b = kp$
puis le raisonnement avec le lemme de Gauss.

Cordialement.

(*) ce $\pmod p\times\pmod q$ ne m'inspire pas.

Bonjour,

Quelle est la signification de

a=b (mod p)x(mod q)


?

Édit : j’arrive après l’ombre de Lucky Luke...

Tu remarqueras qu'on n'a pas besoin du fait que q est premier, la seule chose qui compte est qu'il est non nul.

Salut Sneg,

C'est surement l'isomorphisme chinois dont tu parles avec ta notation $\pmod{p} \times \pmod{q}$. Tu connais l'isomorphisme chinois ?

Il vaut mieux éviter les "belles formules" dont on ne sait pas si elles sont vraies ou fausses. Ici, tu es bien tombé, mais ça a surtout eu pour effet de te détourner d'une vraie réflexion sur "comment prouver" (rappel : Une preuve est bâtie sur des propriétés certaines).

Et comme la primalité de q (même relative à p) n'est pas nécessaire, ce n'est qu'une analogie que tu avais en tête.

Cordialement.

Sneg,

ce n'est pas conventionnel d'écrire ce que tu as écrit. En gros (je ne détails pas trop). Tu as un morphisme d'anneau (chinois)
$ \Z/pq\Z \to \Z/p\Z \times \Z/q\Z$ celui-ci est donné par : $x \pmod{pq} \to (x \pmod{p}, x \pmod{q}$. Toi tu as décidé de l'écrire :
$$
x \pmod{pq} \to x \pmod{p} \times \pmod{q}
$$
Pourquoi pas, si c'est pour toi et que tu sais ce que tu fais ! Mais si tu dois monter ça a quelqu'un et bien il faut expliquer ce que tu veux dire.

Donc tu as une congruence : $aq = 0 \pmod{pq}$ (avec $a$ ton nombre que je ne copie-colle pas). Et tu dis a la ligne suivante :
$$
aq = 0 \pmod{p} \times \pmod{q}
$$
Remarque : il faut que $p$ et $q$ soit premier entre eux pour garantir l'équivalence (isomorphisme).
Donc là je traduit ça en $(aq \pmod{p},aq \pmod{q}) = (0,0)$.

Et ensuite tu fais une sorte de simplification à gauche par $q$ et à droite par $\pmod{q}$ :
$$
a = 0 \pmod{p}
$$
Bon là direct on se dit : attention !!! (il faut que tu sois consciente que quand tu fait un truc comme ça, ça sens le souffre jusqu'à preuve du contraire).

Donc là je regarde ce qu'il se passe au niveau classique (i.e sans ta notation) : la relation $(aq \pmod{p},aq \pmod{q}) = (0,0)$ s'écrit $(aq \pmod{p},0 \pmod{q}) = (0,0)$ et donc elle se réduit à $aq = 0 \pmod{p}$.
$$
\text{Toi : } \quad a = 0 \pmod{p} \qquad \qquad \qquad \text{Moi : } \quad aq = 0 \pmod{p}
$$
C'est pas tout a fait pareil, mais bien sûr ici c'est pareil car tu as fait l'hypothèse que $p$ et $q$ sont deux premiers différents et je peux simplifier $q$ dans mon expression ! Donc on trouve pareil !

Donc : OK. Mais est-ce que moi perso je vais adopter ta notation dans la vie de tous les jours ? Non non, je reste dans mon idée que ça sens le souffre et qu'on risque de faire des conneries rapidement jusqu'à preuve du contraire ! Mais rien ne t'empêche d'étudier les propriétés de ta notation et de voir si elle simplifie la vie ou non ?