$\sqrt{n^2+1}$ est irrationnel

jean-éric · March 2019

Bonjour,

Dans cet article Tom M Apostol prouve que racine de 2 est irrationnel de manière géométrique. Il rajoute ensuite que de la même manière on peut prouver que $\sqrt{n^2+1}$ est irrationnel ainsi que $\sqrt{n^2-1}$.

J'ai compris la démarche pour $\sqrt{n^2+1}$ mais je n'arrive pas à conclure. On construit donc un triangle rectangle de côtés $1$, $n$ et l'hypoténuse mesure bien $\sqrt{n^2+1}$. On suppose que $\sqrt{n^2+1}=\frac{p}{q}$ que l'on écrit $p=q\sqrt{n^2+1}$ qui est donc entier, et on considère le triangle rectangle de côtés $q,\ qn$ et $p$ est donc rectangle à côtés entiers.

On choisit alors $q$ le plus petit possible, et alors on doit exhiber un triangle rectangle semblable au précédent ayant des côtés entiers plus petits que le précédent avec une hypoténuse de la forme $q'\sqrt{n^2+1}$...

Bref je n'arrive pas à faire cette fichue construction. Je suis parti de l'idée en pièce jointe mais je ne m'en sors pas.

Une figure m'aiderait à conclure. merci.

Jean-éric. 85012

Dom · March 2019

Bonjour,

Qu'entends-tu par "je n'arrive pas à faire cette construction" ?

Ton schéma me semble correct.

Si j'ai bien compris : L'idée est de dire qu'on considère $q$ le plus petit entier possible (il est important de savoir de quoi on parle : entier naturel ? entier naturel non nul ? entier naturel plus grand que 1 ?).
Et la contradiction est : j'en ai trouvé un autre qui est $q-1$.

En effet, pour passer du (grand) triangle d'hypoténuse $p$ au triangle plus petit, le rapport de la réduction est $\frac{q-1}{q}$ (qui est bien un rapport de réduction...enfin dans les bonnes conditions sur $q$...).

Remarques :
1) une petite coquille, sous un radical que tu as écrit, c'est $n^2+1$ que tu voulais écrire (hypoténuse) au lieu de $n^2-1$.
2) sans la géométrie, quelques lignes permettent de trancher la question

jean-éric · March 2019

Merci Dom,

J'ai rectifié la coquille.
En fait $n$ est un entier naturel non nul, car si $n=0$ c'est sans grand intérêt. On écrit donc $\sqrt{n^2+1}=\frac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont deux entiers naturels non nuls.

On choisit donc $q$ comme entier naturel le plus petit possible tel que $p=q\sqrt{n^2+1}$ soit entier naturel non nul bien sûr.

Nous sommes bien d'accord sur le coefficient de réduction $\frac{q-1}{q}$ c'est pourquoi le triangle rectangle de côtés $q-1, (q-1)n$ et $(q-1)\sqrt{n^2+1}$ serait lui aussi avec une hypoténuse à côté entier naturel ???

Le pire c'est que j'avais les idées claires sur ce truc il y a un an, mais faut croire que certains de mes neurones sont partis avec l'explication que j'avais à l'époque en tête. Bref j'aurai du tout écrire !

Espérant être plus clair.

jean-éric · March 2019

Ok, j'ai compris merci Dom. $p$ est un entier naturel multiple de $q$ et donc en le multipliant par $\frac{q-1}{q}$ on le transforme en un entier naturel multiple de $q-1$.

Jean-éric.

Dom · March 2019

Ok.
Une petite rectification : $p$ n'est pas forcément un entier multiple de $q$ car $\sqrt{n^2+1}$ n'est pas entier, a priori.
Ou alors, je ne sais pas si cette expression existe, c'est plutôt un "multiple rationnel" de $q$ dans les hypothèses que l'on prend.

jean-éric · March 2019

Ok j'ai compris ta remarque.

Ma question reste donc : en multipliant $p$ par $\frac{q-1}{q}$ pourquoi obtient-on un entier ???

Dom · March 2019

Ha d'accord.
Mea Culpa, je n'avais pas décelé ta question (si précise désormais) dans nos échanges.
Deuxième erreur de ma part, je n'avais même pas lu le document mis en lien.

Je comprends mieux le problème.

La seule chose qui m’apparaît désormais erronée est la figure que tu proposes.
Je ne crois pas qu'il s'agisse de celle-ci. Celle pour l’irrationalité de 2 est plus complexe que cela.

Je regarde cela.

Remarque : j'ai un piètre niveau en anglais mais je vais tenter de comprendre car c'est court finalement.

Dom · March 2019

Alors, il faut faire "la même construction".

Je joins une figure. On par du triangle rectangle $(1;n;\sqrt{n^2+1})$ et en le multipliant par $a$ le plus petit dénominateur du supposé rationnel $\sqrt{n^2+1}$, on construit le triangle rectangle $(a;an;a\sqrt{n^2+1})$ aux longueurs (supposées) entières (et minimales) désormais.

Il suffit de démontrer que les côtés du triangle vert sont entiers.

C'est assez génial en effet. C'est même du niveau 3e et un peu plus convaincant (j'entends "pour les élèves de collège ou lycée", c'est subjectif, à débattre) que l'irrationalité démontrée de manière algébrique.

La longueur $CD$ est entière car c'est une différence d'entiers.
La longueur $ED$ est entière : un produit en croix (triangles semblables) où le $a$ se simplifie.
La longueur $EC$ est entière : non pas par un produit en croix (on ne peut pas conclure) mais par une soustraction $a-BE$ où $BE=ED$ et $ED$ est entière. 85018