Majoration

Bonjour, je bute sur étape de calcul effectuée dans un livre, qui établie un théorème de Liouville.

Soit $a_1$,...,$a_n$ des entiers et $z$ un nombre algébrique de degré $n>1$ tel que $f(z)=a_0 + a_1z+ ... + a_nz^n = 0$ .

On approche $z$ par un nombre rationnel $z_m=\frac{p_m}{q_m}$.

on établit ensuite la formule suivante : (je ne donne pas le détail, qui ne me pose pas de problème pour l'instant)

$\frac{f(z_m)}{z_m-z} = a_1 + a_2(z_m+z) + a_3(z_m^2+z_mz+z^2) + ...+a_n(z_m^{n-1}+...+z^{n-1})$

On fait tendre $z_m$ vers $z$ de sorte que $\mid{z_m-z} \mid<1$.

Je cite le livre : "on peut à présent écrire la majoration grossière suivante, pour m suffisamment grand" :

$\mid \frac{f(z_m)}{z_m-z} \mid = \mid a_1 \mid +2\mid a_2\mid(\mid z\mid+1) + 3\mid a_3\mid (\mid z \mid +1)^2 + ...+ n\mid a_n\mid(1+\mid z\mid)^{n-1}$

Je n'arrive pas à établir cette majoration. Avec l'inégalité triangulaire, j'ai réussi à établir que $\mid{z_m+z} \mid < 2(\mid z\mid+1)$ mais je n'arrive pas pour les termes de degré supérieur. J'ai essayé une récurrence sans succès.