Structure de $\Z_p^{*}/\Z_p^{*18}$

$p$ est-il premier ? Connais-tu les propriétés des groupes cycliques (la structure de leurs quotients par exemple) ?

Bonjour,
Soient $G,H,K$ des groupes abéliens tels que $G\simeq H \otimes K$ (produit direct) et $n \in \N^*$. Alors: $\:\:G/nG \simeq (H/nH) \otimes (K/nK)$.

Lorsque l'on sait que pour $p\neq 2,\:\:\Z_p ^{\times} \simeq \Z_p\otimes\Z/(p-1)\Z, \:$ et que $\Z_2 ^{\times} \simeq \Z_2 \otimes \Z/2\Z,\:$ on obtient:
$\boxed{\Z_p^{\times}/(\Z_p^{\times})^n \simeq H_ p \otimes K_p} \:\:\text{où}\:\:H_p = \Z_p/n\Z_p\:\:\:\: \:\text{et}\:\:\: \:\:K_p= \Big(\Z/(p-1)\Z\Big) \: / \: n\Big( \Z/(p-1)\Z \Big)$ si $p\neq2,\:\:$ $\: K_2\simeq \Z/2\Z$.

Avec $n = 18$, on a:
$\bullet \:\:$ Si $p \neq 2,3 ,\:\:\:$ alors $ H_p \simeq \Z_p\:$ et $K_p \simeq \Z/d\Z \:$ où $ \:d=n \wedge (p-1)\:$.
$\bullet \:\:$ Si $p=3, \:\:\:\:$ alors $H_p \simeq \Z/3\Z\:\:$ et $\: K_p \simeq \Z/2\Z$.
$\bullet \:\:$ Si $p=2, \:\:\:\:$ alors $H_p \simeq K_p \simeq \Z/2\Z$.