Le nombre $33$ somme de trois cubes
dans Arithmétique
Bonjour,
Je suis tombé par hasard sur ça nombre33 mais l'article est réservé aux abonnés. Savez-vous où peut-on trouver plus d'informations à ce sujet et quels sont les articles qui s'y référent?
Al-Kashi
Je suis tombé par hasard sur ça nombre33 mais l'article est réservé aux abonnés. Savez-vous où peut-on trouver plus d'informations à ce sujet et quels sont les articles qui s'y référent?
Al-Kashi
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Réponses
(*) Sans difficulté = sans abonnement et sans autre hack que le plugin NoScript, qui bloque les scripts javascript (même pas sûr que cela ait une influence ; c'est peut-être une question d'URL ?).
Le fil sur Reddit :
https://www.reddit.com/r/math/comments/ayzy6s/33886612897528752838778405442862239327361114688070/
Tu as les liens vers les articles.
Pour cet article sur Science et Vie, avec mon bloqueur de scripts, je l'ai en entier :
Un problème en théorie de nombres, inspiré par un vidéoblog de vulgarisation, vient de trouver sa réponse. Il y est question du nombre 33 et sa relation avec d'autres nombres élevés au cube. Rafraîchissant !
La vulgarisation a déjà inspiré la recherche fondamentale, mais c'est bien la première fois qu'un « youtubeur » - soit un vulgarisateur par vidéo logé dans la plateforme YouTube - a conduit à la découverte d'un fait mathématique en théorie des nombres.
Celle-ci peut sembler anecdotique mais elle s'inscrit dans la longue tradition des "problem solvers", initiée voici plus de 2300 ans chez les Grecs Anciens, et qui a produit certaines des plus belles constructions collectives en théorie des nombres.
Dans le cas présent, il s'agissait de savoir si le nombre 33 pouvait être écrit sous la forme d'une somme de trois nombres entiers à la puissance 3 (au cube), soit : trouver des nombres entiers positifs ou négatifs a, b et c tels que 33 = a3 + b3 + c3.
On possédait déjà la réponse pour les 32 nombres précédents (1, 2, 3, ..., 32) : tous pouvaient être écrits sous cette forme cubique sauf 4, 5, 13, 14, 22, 23, 31 et 32. D'où l'interrogation sur le nombre 33, le suivant sur la liste.
Des connaissances préalables... et YouTube
Des travaux précédents avaient démontré rigoureusement que tout nombre pouvant être écrit sous la forme 9k+4 ou 9k+5 (k étant un paramètre entier positif) ne remplissaient pas la condition : pour k = 0, on a les nombres 4 et 5, pour k = 1 : 13 et 14, pour k = 2 : 22 et 23... et ainsi de suite à l'infini.
Par exemple, on sait a priori que 58 et 59 (k = 6) ne peuvent être mis sous la forme d'une somme de trois cubes, ou encore 904 et 905 (k = 10), etc. Mais cela ne signifie pas que les autres le peuvent, du moins cela n'a pas été démontré jusqu'ici.
Dans les faits, le 6 novembre 2015, le blog vidéo Numberphile tenu par Tim Browning et Brady Haran, l'un chercheur en théorie des nombres, l'autre cinéaste et journaliste, avaient posé la question sur 33.
Le 11 mars 2019, le mathématicien Andrew R. Booker de l'université de Bristol (Royaume-Uni) a publié la réponse dans le site arXiv : 33 = (8 866 128 975 287 528)3 + (-8 778 405 442 862 239)3 + (-2 736 111 468 807 040)3. CQFD... mais ça lui a pris des années et l'écriture de 6 pages de recherches en théorie des nombres.
Le cas du dernier théorème de Fermat
Pour mémoire, il a fallu plus de 300 ans pour résoudre le dernier théorème de Fermat (publié en 1670, démontré en 1994). Celui-ci affirme qu'il n'existe pas de nombres entiers strictement positifs a, b, c vérifiant l'équation an + bn = cn lorsque n est un entier strictement supérieur à 2.
Pour n = 1, soit a + b = c, on a une infinité de solutions (par exemple, a = 1, b = 2 et c = 3). Pour n = 2, également - par exemple a = 3, b = 4 et c = 5, ce qui donne : 32 + 42 = 52. Mais le théorème affirme que pour n = 3 et plus, aucun nombre a, b et c ne satisfait l'équation.
Dans le cas présent, la tâche a été plus simple car il ne s'est pas agi de démontrer une impossibilité sur tous les nombres mais simplement de trouver trois nombres particuliers répondant à l'équation 33 = a3 + b3 + c3 - même si on ne pouvait savoir a priori s'il y en avait.
Le rôle de l'informatique
Bien sûr, ce n'est pas tant la solution trouvée que les moyens théoriques mis en œuvre qui représentent un véritable acte de création pour les mathématiciens, sachant qu'une recherche par "force brute" - tester tous les nombres un par un jusqu'à trouver les bons - a très peu de chances d'aboutir avant la fin du cycle de vie du Soleil (dans 5 milliards d'années), voire de l'Univers, même avec l'aide du plus puissant supercalculateur.
Car si l'utilisation de l'informatique est cruciale dans ce type de défi, c'est sur la base d'une réduction du problème à un nombre fini de calculs, ce qui ne peut s'obtenir que par le passage par une reformulation théorique profonde du problème.
La suite ? Le nombre 34...
Autre particularité : s'il est extrêmement difficile de trouver la solution de ce type de problème, en revanche quand on dispose de trois nombres a, b, c candidats, la confirmation qu'ils sont une solution est quasiment immédiate : il suffit de demander à une calculette de le faire (à condition qu'elle puisse calculer avec des nombres aussi grands).
Mais comme la démonstration ne concerne que 33, la même question se pose désormais pour 34, 35, 36... et une infinité d'autres nombres - sauf si un autre mathématicien trouve une formule générale permettant a priori de connaître tous les nombres qui satisfont la condition.
Al-Kashi
Dans l'article:
https://arxiv.org/pdf/1604.07746.pdf
Il y a de jolies identités qui permettent de résoudre les cas $k=1,2$ et plus généralement $k=u^3,2u^3$ avec $u$ un entier naturel.
Lire aussi:
http://www.ams.org/journals/mcom/2007-76-259/S0025-5718-07-01947-3/S0025-5718-07-01947-3.pdf
PS:
Le journaliste aurait pu trouver par lui-même que:
$34=3^3+2^3+(-1)^3$ (il laisse entendre que la prochaine étape serait $34$)
Je n'ai pas trouvé seul cette égalité je l'ai lue dans:
https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1112/jlms/s1-30.1.101
(il y en a beaucoup d'autres mais hélas l'article n'est pas accessible au tout venant semble-t-il)
la presse se fait l'écho d'une découverte en théorie des nombres: après avoir fait tourner pendant 3 semaines un super calculateur, un chercheur a trouvé un triplet d'entiers relatifs $(x,y,z)$ vérifiant $x^3+y^3+z^3=33$.
On connaissait des solutions de $x^3+y^3+z^3=k$ pour $k=20$ et $k=39$. Mais on en cherche toujours pour $k=30$ et on en cherchait depuis très longtemps pour $k=33$.
J'ai cru comprendre qu'il y a des algorithmes qui fonctionnent bien pour certaines valeurs de $k$ et pas du tout pour d'autres.
Ils s'appuient sur l'étude du nombre de classes de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{k})$.
Voir l'article de Heat-Brown, Lioen, Te Riele.
http://euler.free.fr/docs/HLR93.pdf
https://www.pourlascience.fr/sd/mathematiques/probleme-des-3-cubes-il-nen-reste-plus-quun-16573.php
ps: une illustration (bien trouvée) de la revue "NewScientist" concernant le problème pour $k=33$.
Bon Dimanche !
...
$(-283059965)^3+ (-2218888517)^3+ 2220422932^3=30$
(lu dans https://www.researchgate.net/publication/220577597_New_integer_representations_as_the_sum_of_three_cubes
je ne pense pas que l'article est accessible librement)
Mais, je viens de lire l'article de Pour la Science mis en lien par Df, l'égalité ci-dessus y figure.
*: de la pure rhétorique parce qu'il me sera difficile de déterminer qui précisément à découvert cette égalité et l'a publiée en premier.
J'essayais de comprendre la preuve de Heath-Brown (voir le premier lien de mon post) sur la recherche de $(x,y,z)$ vérifiant $\displaystyle x^3+y^3+z^3=3$.
Cette preuve ne fait intervenir que des "faits élémentaires" sur les corps cubiques mais il me manque quelques pré-requis algébriques sur les corps de nombres.
Après avoir traité le cas $x=y=z=1$, on suppose $x$ et $y$ de même signe et $z$ de signe contraire. L'idée est alors de poser $n=x+y$ et de résoudre : $$
z^3 \equiv 3 \pmod n
$$ avec $1 \leq |z| \leq |n|$ et de signe opposé à $n$.
Puis on se transporte dans le corps $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3})$ (dont l'anneau des entiers possède une factorisation unique) afin de trouver $z$.
...
Un lien vers l'université de Bristol
http://www.bristol.ac.uk/news/2019/september/sum-of-three-cubes-.html
...
Je sais qu'on avait parlé de ce problème il y a quelque temps j'espère que cet article n'est pas du réchauffé.
PS:
Apparemment ce n'est pas du réchauffé:
https://www.bristol.ac.uk/news/2019/september/sum-of-three-cubes-.html