Définition d'une variété abélienne
Bonjour à tous, je travaille actuellement sur les variétés abéliennes (je débute sur le sujet).
J'ai suivi plusieurs ouvrages et résultat : je suis perdu !
J'ai commencé par le Mumford, où je définis la notion de schéma en groupe sur un corps k algébriquement clos.
Ensuite je dis qu'une variété abélienne est une variété complète sur k qui a une structure de schéma en groupes. (Mumford toujours)
Mais tout ça est sur un corps algébriquement clos.
Mais dans mon mémoire je vais être amené à travailler sur des variétés abéliennes définies sur des corps de nombres, du coup comment adapter la définition pour la rendre plus général (corps k quelconque)
Merci d'avance !
J'ai suivi plusieurs ouvrages et résultat : je suis perdu !
J'ai commencé par le Mumford, où je définis la notion de schéma en groupe sur un corps k algébriquement clos.
Ensuite je dis qu'une variété abélienne est une variété complète sur k qui a une structure de schéma en groupes. (Mumford toujours)
Mais tout ça est sur un corps algébriquement clos.
Mais dans mon mémoire je vais être amené à travailler sur des variétés abéliennes définies sur des corps de nombres, du coup comment adapter la définition pour la rendre plus général (corps k quelconque)
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Réponses
Comment vous montrez que la loi de groupe est commutative ?
Que la variété est compacte donne que pour tout $a,b$ il existe $(n_j)$ tel que $\lim_{j \to \infty} a^{n_j} ba^{-n_j}b^{-1}$ converge, vers $1$, donc $a^{n_j} $ et $b$ commutent à peu près
Dans les bouquins ils donnent des preuves que la loi de groupe est commutative en regardant la dimension (= degré de transcendance du corps de fonctions) de la sous-variété algébrique $S=\{ (x,x^{-1} y x), x \in A, y \in A\}$ de $A \times A$, son intersection avec $1 \times A$ et la diagonale $D=\{ (a,a), a \in A\}$ et $S (1\times A), SD$, preuves que je n'arrive pas à suivre
Autre question ! Si A est une variété abélienne complexe de dimension g, alors l'ensemble des C points est compact, j'aimerais savoir si c'est pour la topologie de Zariski, ou pour la topologie ambiante de C^g ?
Et aussi comment le prouver ?
Soit $A$ variété complexe connexe avec une loi de groupe et inverse donnée par des fonctions holomorphes (ou rationnelles ?).
Soit $S = \{ (x,y^{-1} xy),x,y\in A\}$ sous-variété complexe de $A\times A$.
$S$ est fermée parce que $A$ est compacte.
$S. (1 \times A) = \{ (x,y^{-1}xyz),x,y,z \in A\} = A \times A$ donne une égalité des espaces tangents au point $e=(1,1)$
$T_e S + T_e (1\times A) = T_e(A \times A)\tag{1}$
$S$ n'est pas un groupe mais il possède la propriété que si $s \in S$ alors pour tout $n, s^n \in S$ et $\exists z \in S, s = z^m$. Donc comme pour un groupe $\exp$ envoie $T_e S$ vers $S$.
Soit $v \in T_e S \cap T_e (1\times A) $. Alors $\exp(v) \in S \cap 1\times A= \{e\}$ donc $v=0$.
Dans $(1)$ c'est donc une somme directe et $\dim(T_e S)+\dim(T_e 1\times A) = \dim(T_e A\times A)= 2 \dim(T_e A)$ donc $\dim(T_eS)= \dim(T_eA)$. Et comme la diagonale $D = \{ (x,x),x\in A\} \subset S$ est aussi de dimension $\dim(T_e A)$ et que $S$ est connexe on a $S = D$ et la loi de groupe est commutative.
Edit : je n'ai pas utilisé que la variété étant complexe et la loi de groupe holomorphe/algébrique. Par exemple $O_3(\Bbb{R})$ est une variété réelle algébrique mais n'est pas un groupe abélien, à quel moment ça ne marchera pas avec ce groupe ? Sa complexification n'est pas compacte.
Quand $A$ n'est pas compacte et que sa loi de groupe n'est pas commutative alors $S$ n'est pas fermée donc ça pose problème pour parler de son espace tangent en $1$, qui n'est pas forcément fermé non plus.
Par exemple $A = \pmatrix{ a & b \\ 0 & 1} \subset GL_2(\Bbb{C}), S= \{(\pmatrix{ a & b \\ 0 & 1},\pmatrix{ a & A^{-1}(B(a-1) +b) \\ 0 & 1}) , a,A\in \Bbb{C}^*,b,B\in \Bbb{C}\}$ ne contient pas $ (\pmatrix{ 1 & b \\ 0 & 1},\pmatrix{ 1 & 0 \\ 0 & 1})$ donc il manque l'élément $v= (\pmatrix{ 0 & 1 \\ 0 & 0},\pmatrix{ 0 & 0\\ 0 & 0})$ dans l'espace tangent, bien que $v$ soit dans la complétion de l'espace tangent de $S$.
Je lis sur cette page wikipedia que les deux notions semblent coïncider.
M.
Poirot tu as bien raison, c'est pour la topologie complexe, cela vient du fait que l'ensemble des C-points est isomorphe à un tore complexe compact !
Mauricio : j'ai déjà suivi un cours de courbes elliptiques et beaucoup travailler sur ce sujet. Je débute juste la théorie des variétés abéliennes, qui est le sujet de mon mémoire.
Avec $A = SO_3(\Bbb{R})$ alors $S$ devrait avoir l'équation d'une variété algébrique mais a des espèces de cusps parce que $\Bbb{R}$ n'est pas algébriquement clos (si $u \in T_e A$ et $y \in A$ alors $(u,u)$ et $(u,y^{-1} u y) \in T_e S$ mais $(0,u-y^{-1} u y) \not \in T_e S$)
Ce que je ne comprends pas c'est pourquoi avec sa complexification $A =SO_3(\Bbb{C})= \{ x \in GL_3(\Bbb{C}), x^\top x = I, \det(x) = 1\}$ (qui n'est pas commutatif ni compact) on n'a pas que $S$ est une variété. Ce que je pourrais envisager c'est que comme $A$ n'est pas compact, c'est seulement la complétion $\overline{S}$ qui est une variété, et l'argument pour montrer que $T_e \overline{S}$ est en somme directe avec $T_e (1 \times A)$ ne marcherait alors plus : il y aurait des suites de $S$ qui convergent vers des éléments non-triviaux de $1 \times A$ dont la limite est dans $\overline{S}$ mais pas dans $S$.
Si X et S sont des schémas, on a la notion de S points, ce sont les morphismes de S vers X que l'on note X(S).
Si X est une variété abélienne sur k, on a la notion de points rationnels que l'on note X(k), ils sont définis comme étant les points x de X tels que leur corps résiduel soit égal à k.
Du coup, petit souci j'ai la même notation pour ces deux objets. J'ai l'impression qu'il y a un lien intrinsèque.
J'ai cru une fois avoir lu que les points rationnels correspondent aux sections du morphisme structural. Si c'est le cas, alors les points rationnels seraient bien des k-points.
Y a-t-il équivalence entre ces notions ? Merci d'avance.
Si $k$ est un corps, $X$ un $k$-schéma localement de type fini et $x\in X$ alors on montre que $x$ est un point fermé si et seulement si $k(x)/k$ est une extension algébrique.
Et si $k$ est algébriquement clos on montre que l'ensemble des points fermés de $X$ (donc l'ensemble des points tel que $k(x)=k$) correspondent aux $k$-points $Hom_k(Spec(k),X)$.
Pour une référence tu peux lire Algebraic Geometry I de U. Görtz et T. Wedhorn.
(Rajout) Je me rends compte que je n'ai pas tout a fait répondu a ta question ....
Si $X$ est un $k$-schéma localement de type fini les $k$-points et $k$-points rationnels c'est la même chose, si tu prends un $k$-point rationnel $x\in X$ tel que $k(x)=k$, on note $f:k(x)\rightarrow k$ l'isomorphisme on en déduit $Spec(k)\rightarrow Spec(k(x))$ d'où $Spec(k)\rightarrow X$ et réciproquement si tu prends un $k$-point $f:Spec(k)\rightarrow X$ on note $x=f(p)$ l'image de l'unique point $p$ de $Spec(k)$ d'où $O_{X,x}\rightarrow k$ qui induit $k(x)\rightarrow k$
Ta réponse est très claire ! (:D
@Reuns: qu'est-ce que tu ne comprends pas? $SO(3,C)$ 'est une variété algébrique affine comme tous les groupes classiques... Décidément j'ai bien du mal à comprendre ce fil:-S
M.
Soit $S= \{(x,y^{-1} x y)\mid x,y \in A\} \subset A \times A$. Ce n'est a priori pas un groupe mais on a quand même $S = \exp(T_1 S)$ où $T_1 S$ est défini comme l'ensemble des sous-groupes à un paramètres contenus dans $S$
Le principal problème c'est de montrer qu'en utilisant telles et telles propriétés de $A$ alors $T_1 S$ est un espace vectoriel réel.
Ensuite si $T_1 S$ n'est pas en somme directe avec $T_1 (1 \times A)$ alors il existe $0 \ne v \in T_1 S \cap T_1 (1 \times A)$ donc $\exp(tv) \in S \cap 1 \times A$ donc $\exp(tv) = (1,1)$ donc $v=0$, contradiction.
Donc $T_1 S$ est en somme directe avec $T_1 (1 \times A)$ et $\dim(T_1 S) = \dim(T_1 A)$ et $S = \{ (x,x) \mid x \in A\}$ donc $A$ est commutatif.
Ma question c'est comment vous utilisez les propriétés de $A$ : compacte, variété complexe (corps algébriquement clos), que le groupe soit algébrique, et à quel moment ça coince pour $SO_3(\Bbb{R}), SO_3(\Bbb{C})$, ou tout autre groupe permettant d'éluder la problématique.
Pour $SO_3(\Bbb{C}) $ qui n'est pas compact j'imagine qu'on aura seulement que $\exp(tv) \in \overline{S} \cap 1 \times A$ où $\overline{S}$ est la complétion projective de la variété affine $S$, et que c'est $T_1 \overline{S}$ et non $T_1 S$ qui est un espace vectoriel réel.
Soit $A$ une variété complexe avec une loi de groupe et inverse donnée par des fonctions holomorphes
Soit une carte $\phi$ d'un voisinage de $0 \in \Bbb{C}^n$ dans un voisinage de $1 \in A$
$\phi$ permet d'identifier $Lie(A)$ à $T_1 A$ à $\Bbb{C}^n$
L'action de $g \in A$ sur $\Bbb{C}^n$ c'est pour tout $v \in \Bbb{C}^n$ : $$\rho(g)v = \frac{d}{dz} \phi^{-1}(g \phi(zv)g^{-1})|_{z=0}$$
L'holomorphie donne que $\rho(g)$ est $\Bbb{C}$-linéaire donc $g \mapsto \rho(g)$ est holomorphe $A \to GL_n(\Bbb{C})$.
Si $A$ est compacte et connexe alors cette fonction doit être constante.
L'exponentielle : pour chaque $v \in \Bbb{C}^n$ construire l'unique fonction $\exp_v : (-r,r) \to A$ telle que $\exp_v(t+t_2) = \phi(tv) \exp_v(t_2)+O(t^2)$. En comparant les dimensions réelles on a que tout élément de $A$ est de la forme $\prod_{j=1}^n \exp_{v_j}(1)$
Et comme $g \exp_{v_j}(1) g^{-1} = \exp_{\rho(g) v_j}$ on a la commutativité de $A$.