Équation diophantienne de la forme $ax+by=c$
dans Arithmétique
Bonjour à tous
Quelqu'un peut-il m'expliquer l'intérêt de la vérification des solutions d'une équation diophantienne ?
Je prends un exemple pour illustrer ce que je veux dire. Je résous l'équation : $$
13x - 2y = 1.
$$ Je trouve une solution particulière $(1;6)$.
J'arrive à l'égalité $13(x-1)=2(y+6)$
$13$ et $2$ sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss $13$ divise $y+6$.
J'obtiens donc $y=13k+6$. En remplaçant dans l'égalité je trouve $x = 2k+1$.
J'arrive donc à ma question. Est-il nécessaire de faire l'étape ci-dessous pour montrer que les solutions de l'équation sont $(2k+1;13k-6)$ ?
$13(2k+1) - 2(13k+6) = 26k +13 - 26k - 12 = 1$
J'ai dû mal à en comprendre l'intérêt car juste avant on part de l'égalité pour obtenir $x$ donc forcément en remplaçant $x$ et $y$ dans l'équation par les solutions, j'obtiendrai toujours $1$.
Quelqu'un peut-il m'expliquer l'intérêt de la vérification des solutions d'une équation diophantienne ?
Je prends un exemple pour illustrer ce que je veux dire. Je résous l'équation : $$
13x - 2y = 1.
$$ Je trouve une solution particulière $(1;6)$.
J'arrive à l'égalité $13(x-1)=2(y+6)$
$13$ et $2$ sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss $13$ divise $y+6$.
J'obtiens donc $y=13k+6$. En remplaçant dans l'égalité je trouve $x = 2k+1$.
J'arrive donc à ma question. Est-il nécessaire de faire l'étape ci-dessous pour montrer que les solutions de l'équation sont $(2k+1;13k-6)$ ?
$13(2k+1) - 2(13k+6) = 26k +13 - 26k - 12 = 1$
J'ai dû mal à en comprendre l'intérêt car juste avant on part de l'égalité pour obtenir $x$ donc forcément en remplaçant $x$ et $y$ dans l'équation par les solutions, j'obtiendrai toujours $1$.
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Réponses
Le début de ta démonstration montre que si $(x,y)$ est solution, alors $x$ est de la forme $2k+1$ et $y$ est de la forme $13k-6$, pour un certain entier $k$. Ainsi, s'écrire de cette manière est une condition nécessaire pour être solution. Par contre à ce stade, rien ne te dit que tous les couples de cette forme sont bien solutions. Il reste donc à le faire, et tu montres alors qu'il s'agit également d'une condition suffisante.
Si je comprends bien, je perds l'équivalence à cause du théorème de Gauss.
$13x-2y=1 \Rightarrow (x;y)=(2k+1;13k+6)$.
Et donc avec la dernière étape je montre que tous les couples de la forme $(2k+1;13k+6)$ sont solutions.
$PGCD(a;b)=1 \land a \mid c \Leftrightarrow PGCD(a;b)=1 \land a \mid bc$
Si $a$ est premier avec $b$ et si $a$ divise $bc$ alors $a$ divise $c$
Ce n'est pas une équivalence.
Cette étape du raisonnement brise toute vélléité de raisonner par équivalence de cette façon-là me semble-t-il.
Va essayer de trouver des couples d'entiers solutions de: $39x+26y=1$ B-)-