Suite périodique

Bonjour,

Ce que je pense avoir établi n'est peut-être pas clairement en adéquation avec l'énoncé proposé, que je n'ai pas bien compris

$\forall k \in\N^*$, je note $E_k$ l'ensemble des entiers impairs inférieurs à $2^k-1$.$\:\:\:\forall n \in \N,\:\: \mathcal I(n)$ désigne le plus grand entier impair divisant $n$
$\forall x \in E_k, \:\: \Phi_k(x):= \mathcal I(x + 2^k-1)$
Ainsi , la suite $v^x$ définie par $v^x_0 =x$ et $ \forall n \in \N,\:\: v_{n+1}^x = \Phi_k(v_n^x)$, est la suite des nombres impairs obtenue, à partir d'un $x\in E_k$, par la procédure décrite par l'énoncé. Alors

$\bullet \:\:\:\Phi_k$ réalise une permutation de $E_k$ , ce qui entraine la périodicité de $v^x$.
$ \bullet\:\:\:\forall i \in [\![1; k-1]\!], \:\:\: \exists x \in E_k$ tel que $v^x$ soit de période $i$.
$ \bullet \:\:\: \forall x \in E_k,\:\:$ la période de $v^x$ divise le nombre de $1$ que contient l'écriture en base $2$ de $x$
$\bullet \:\: $ si $p$ est un nombre premier dans $E_k$, alors la période de $v^p$ est soit égale à $1$ , soit égale au nombre de $1$ de l'écriture binaire de $p$
$\bullet \:\:\:$ Le nombre de points fixes de $\Phi_k$, (i.e. de $x \in E_k$ tels que $v^x$ est de période $1$) est égal au nombre de diviseurs de $k$.

Par exemple, avec $k =6$, les cycles disjoints qui déterminent $\Phi_k$ et donc les périodes des suites $v^x$ sont:
$(1);\: (63);\: (21);\: (9);\: (3, 33);\: (5, 17);\: (7,35, 49);\: (11,37, 25);$$(13,19, 41);\: (15, 39, 51, 57) ;\: (23, 43, 53, 29 );\: (31, 47, 55, 59 , 61), $
et ce dernier, que j'avais oublié, détecté dans un message ultérieur par l'oeil de lynx de Depasse que je remercie: $(27,45)$.

Non, tu as raison : pour tout entier impair $x$, il n'y a que deux longueurs de période possibles pour $v^x$. ( et je n'ai pas mentionné cela): "pour toutes les valeurs de $k$ sauf au plus une" , cette longueur est égale au $\text{nombre de }1$ contenus dans l'écriture binaire de $x$.

Ce qui est spécifique aux nombres premiers $p$, c'est que la longueur de la période de $v^p$ est égale
$\bullet\:\:$ à $1\:$ lorsque $p$ et $k$ sont tels que $ p = \displaystyle \sum _{i=0}^{s-1} 2^{ti}\:\: \text{avec}\:\:\: t,s \in \N, \: ts = k, \:\: k \:\:\text{impair}.$.
$\bullet\:\:$ au $\text{nombre de }1$ de l'écriture binaire de $p$, sinon.
Si $x$ n'est pas premier, alors la longueur de la période de $v^x$ peut être différente de $1$.

Bonsoir,

il me semble que LOU a oublié le cycle fétiche de Nodgim: $(27, 45)$

Amicalement
Paul

Bonjour,

On peut essayer $670617279$.

Cordialement,

Rescassol

Bonsoir Dépasse,

Je profite de ta présence sur ce fil pour te saluer.

Al-Kashi