La fonction zeta

Fly7
Fly7
dans Arithmétique
Bonjour.
Je viens de voir une vidéo qui m'intrigue.

Je pensait que dès que zêta est inférieur à 1 la série converge or 1/2+1/2+1/2... est infini et est inférieur à zêta de 1 ce qui prouve que zêta de 1 ne converge pas.
Du coup, je sais qu'il existe quelque chose de plus petit que zêta de 1 et qui ne converge pas.
Désolé je ne suis pas mathématicien je ne m'exprime peut-être pas très bien.
Voyez-vous ou se trouve la contradiction ?
Je pense que cette preuve n'est pas bonne.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Tu sembles parler de la série de Riemann qui définit $\zeta(s)$ pour $s$ complexe de partie réelle strictement supérieure à 1 : $\displaystyle \zeta(s) =\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac 1 {n^s}$

    Comme tu parles de "inférieur à 1", je suppose que tu parles de s réel et que la phrase " dés que zêta est inférieur a 1 la série converge" doit être lue " dés que s est inférieur a 1 la série converge", ce qui est faux. Pour $s$ réel, la série ne converge que pour $s>1$. Ce qui n'interdit pas de définir $\zeta(s)$ pour des réels inférieurs à 1 et non entiers, par un procédé qui n'a plus rien à voir avec la série.

    Je n'ai pas compris pourquoi tu parles de $\frac 1 2+\frac 1 2+\frac 1 2+ ...$, qui n'a rien à voir avec la série, ni avec $\zeta(\frac 1 2)$.

    Donc pas de contradiction.

    Cordialement.
  • Fly7
    Fly7
    Mince lapsus je voulais dire pour s supérieur a 1.
    Modification. 
    Je pensait que dés que zêta de s,
 pour s supérieur a 1 la série converge or 1/2+1/2+1/2...est infini et est inférieur a zêta de s=1,
 se qui prouve que zêta de s=1 ne converge pas. 
Du coups, je sais qu'il existe quelque chose de plus petit que zêta de s=1 et qui ne converge pas. 
Voyez vous ou se trouve la contradiction? 
Je pense que cette preuve n'est pas bonne.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Zeta(1) n'existe pas. On peut l'écrire comme je l'ai fait mais il ne suffit pas d'aligner des signes pour créer un objet "réel".
  • gerard0
    gerard0
    Désolé,

    je ne comprends rien à ce que tu veux dire. Ta phrase "pour s supérieur a 1 la série converge or 1/2+1/2+1/2...est infini et est inférieur a zêta de s=1, ce qui prouve que zêta de s=1 ne converge pas." n'a aucun sens pour moi.
    La série $\displaystyle \zeta(1) =\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac 1 {n^1}$ est une série divergente connue. la série de terme général $\frac 1 2$ est aussi connue comme divergente. et comme ce ne sont pas des nombres, on ne peut pas dire que l'une est inférieure à l'autre.
    J'ai l'impression que tu veux faire référence à une des preuve de la divergence de $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac 1 {n}$, mais que tu mets des mots sans signification ce qui te pose problème. C'est un peu normal, si tu te contentes de parler de mathématiques sans en faire.

    Cordialement.
  • Fly7
    Fly7
    $\displaystyle \zeta(1) =\sum_{n=1}^{+\infty} \frac 1 {n^1}>\sum_{n=1}^{+\infty} \frac 1 {2}$
    Donc il existe $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac 1 {2}$ divergeant plus petit que $ \zeta(1)$.
    C'est ça qui me surprend.
    Je pensais que quelque chose de plus petit que $ \zeta(1)$ devait absolument converger alors que [c'est] la preuve que non.
  • Fly7
    Fly7
    Ça y est j'ai compris cette preuve est totalement stupide.
    Il est tout à fait possible de prouver le contraire en arrangeant les paquets autrement.
  • marsup
    marsup
    Quels paquets ? La série harmonique diverge, c'est tout !

    Il n'existe pas sur cette planète de bouquin traitant de séries qui n'explique pas ce résultat, fais un effort pour te renseigner un peu !
  • Fly7
    Fly7
    Oui marsup

    $1>\frac 1 {2}$ puis $\frac 1 {2}+\frac 1 {3}>\frac 1 {2}$ , $\frac 1 {4}+\frac 1 {5}+\frac 1 {6}+\frac 1 {7}>\frac 1 {2}$ etc
    Donc $\displaystyle \zeta(1) =\sum_{n=1}^{+\infty} \frac 1 {n^1}>\sum_{n=1}^{+\infty} \frac 1 {2}$
    En arrangeant les paquets différemment je peux conclure le contraire.
    Si Nicole Oresme le fait je peux le faire aussi et conclure le contraire.
    "sans prétendre avoir sa notoriété".
    $1\le\frac 1 {2}+\frac 1 {2}$ puis $\frac 1 {2}+\frac 1 {3}<\frac 1 {2}+\frac 1 {2}$,$\frac 1 {2}+\frac 1 {3}+\frac 1 {4}+\frac 1 {5}<\frac 1 {2}+\frac 1 {2}$etc
    Donc $\displaystyle \zeta(1) =\sum_{n=1}^{+\infty} \frac 1 {n^1}<\sum_{n=1}^{+\infty} \frac 1 {2}$
    À titre d'exemple, je peux donner une infinités d'arrangements de paquets à ma guise.
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Série_harmonique#Démonstrations_de_divergence
  • marsup
    marsup
    Ah d'accord, c'est de ça que tu veux parler ! (je n'ai pas regardé les vidéos)

    Dans ce cas, peut-être que tu aurais pu nous dire : $$
    H_{2^{n}-1} = \sum_{k=1}^{2^n-1} \frac{1}{k} = \sum_{i=1}^{n}
    \sum_{k=2^{i-1}}^{2^{i}-1} \frac{1}{k}
    \ge \sum_{i=1}^{n} 2^{i-1} \cdot \frac{1}{2^{i}-1}
    \ge \frac{n}{2}
    $$ en sommant par paquets, d'où la divergence de la série harmonique.

    Là tout le monde aurait compris, et personne ne se serait énervé !
    --
    Désolé je n'avais pas compris, mais je n'étais pas le seul. En tout cas oui on peut faire comme ça, et je crois même que c'est la preuve historique.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Cela ne changera rien au fait que la série harmonique est divergente.

    Pour montrer la divergence de cette série on peut sommer par paquet du terme numéro 1 au terme numéro 2 puis du terme numéro 3 au terme numéro 4, puis du terme numéro 5 au terme numéro 8 etc... on sait minorer ces sommations de paquets, la nouvelle série obtenue diverge probablement.
    En réalité on a sans doute une minoration de $\sum_{k=1}^{2^N}\dfrac{1}{k}$ par une somme partielle d'une série qu'on sait déjà être divergente ($N$ un entier naturel) (je ne me souviens plus des détails).

    Il y a beaucoup de démonstrations de la divergence de la série harmonique.

    On peut aussi montrer qu'on peut minorer $\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ par un nombre réel qui ne dépend pas de $n$ ce qui, grâce au critère de Cauchy, permet de conclure que cette série ne peut pas converger.
  • gerard0
    gerard0
    Fly7,

    en fait, l'absurdité est d'écrire $\displaystyle \zeta(1) =\sum_{n=1}^{+\infty} \frac 1 {n^1}>\sum_{n=1}^{+\infty} \frac 1 {2}$
    Tu mets des symboles = et > entre des choses qui n'existent pas. Ni $\displaystyle \zeta(1)$, ni $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac 1 {n^1}$, ni $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac 1 2 $ (*).

    Impossible de discuter avec toi si tu respectes aussi peu la signification des notations. C'est discuter de cadeaux de fin d'année à quelqu'un qui croit au Père Noël et qui se refuse à arrêter d'y croire.

    Reviens sur Terre !

    (*) ce ne sont que des notations sans signification mathématique, comme $\frac 1 0, \ \sqrt{-3}$, et autres ...
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