Une équation
dans Arithmétique
Je m'intéresse à l'équation $1+x+x^2+x^3=y^2$ dans $\Z\times\Z$. Quelqu'un a une idée pour la résoudre?
On a la factorisation $1+x+x^2+x^3=(1+x)(1+x^2)$ dans $\Z$ et $1+x+x^2+x^3=(x+1)(x+i)(x-i)$ dans $\Z[ i]$, mais je n'ai pas réussi à pousser bien loin le raisonnement.
On a la factorisation $1+x+x^2+x^3=(1+x)(1+x^2)$ dans $\Z$ et $1+x+x^2+x^3=(x+1)(x+i)(x-i)$ dans $\Z[ i]$, mais je n'ai pas réussi à pousser bien loin le raisonnement.
Réponses
-
-
Bonjour,
On pose $x=h-1$ et l'équation devient: $h(2-2h+h^2)=y^2$.
Si$ h$ est impair alors on a nécessairement $h=r^2$ et $1+(r^2-1)^2=t^2$....
Si $ h=2k$ alors l'équation devient $k(1-2k+2k^2)=i^2$ et on a alors...
Al-Kashi -
Elles n'ont pas l'air très nombreuses les solutions de cette équation.
Si je ne me suis pas trompé dans mon programme quand on fait varier $x$ de $1$ à $10 000 000$ il n'y a que deux valeurs de $x$,$1,7$ pour lesquelles $1+x+x^2+x^3$ est un carré parfait. -
Intéressant qu'il y ait x=7, il y a donc des solutions autres que 0 et 1. Et dans les négatifs?
On aurait envie de dire qu'il n'y a qu'un nombre fini de solutions. C'est le cas avec la variante plus classique (et plus simple) $1+x+x^2+x^3+x^4=y^2$ -
Apparemment, il n'y en a pas d'autres :
> E:=EllipticCurve([0,1,0,1,1]); > E; Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 + x + 1 over Rational Field > IntegralPoints(E); [ (-1 : 0 : 1), (0 : -1 : 1), (1 : 2 : 1), (7 : -20 : 1) ]
-
@Namiswan :
Soit $(x,y)$ solution avec $x<0$.
Comme $x^4-1=y^2(x-1)$ avec $x^4-1\geq 0$ et $y^2(x-1)\leq 0$, on a $x^4-1=y^2(x-1)=0$ donc $x=-1$ et $y=0$. -
Je reprends ce que j'ai dit plus haut:
On pose $x=h-1$ et l'équation devient: $h(2-2h+h^2)=y^2$.
Si $ h$ est impair alors on a nécessairement $h=r^2$ et $1+(r^2-1)^2=t^2$. Ceci implique que $r^2-1=0$ soit $r^2=1$ et donc les solutions $x=0,y=\pm1$
Si $ h=2k$ alors en posant $y=2i$ l'équation devient $k(1-2k+2k^2)=i^2$ et on a alors $k=r^2$ et $1-2r^2+2r^4=t^2$ ou encore $(r^2-1)^2+(r^2)^2=t^2$.
Reste à s'intéresser aux triplets pythagoriciens dont les deux plus petits sont des entiers consécutifs, là je sèche.
Al-Kashi -
gai requin: il est vrai que le cas x<0 est pas très dur en fait^^
Al-Kashi: intéressant. Mais sans savoir le prouver, j'aurais envie de dire qu'il existe une infinité de triplets Pythagoriciens "consécutifs" -
Je ne suis pas sûr d'avoir compris la question mais on peut remarquer que \[(r^2-1)^2+(r^2)^2=t^2\iff (2r^2-1)^2-2t^2=-1.\]Les solutions entières de l'équation $x^2-2y^2=\pm1$ sont les couples $\newcommand{\e}{\varepsilon}(x_n^\e,y_n^\e)$ paramétrés par $x_n^\e+y_n^\e\sqrt2=\e(1+\sqrt2)^n$ ($\e\in\{-1,1\}$, $n\in\Z$). Il faut ensuite décider selon le signe $\e$ et la parité de $n$ pour décider si le second membre est $\pm1$ et si $x_n$ et $y_n$ sont pairs ou impairs. Plus délicat : quand est-ce qu'un tel $x_n$ est de la forme $2r^2-1$ ?
-
Je rajoute la petite précision suivante:
Si $(r^2-1)^2+(r^2)^2=t^2$ alors on a nécessairement $2(r^2-1)^2<t^2<2(r^2)^2$ soit $r^2\sqrt{2}-\sqrt{2}<t<r^2\sqrt{2}$.
On a donc soit $t=\lfloor r^2\sqrt{2} \rfloor$ soit $t=\lfloor r^2\sqrt{2}-1\rfloor$
Al-Kashi -
Je propose le problème suivant qui, s'il est résolu, permet dans une certaine mesure de résoudre l'équation de Namiswan.
Trouver tous les entiers naturels $a,b$ tels que $b^2-a^2+2ab=1$ et $8ab$ soit un carré parfait.
Quelques remarques :
1) $b^2-a^2+2ab=(a+b)^2-2a^2$ donc la première condition se résout comme l'a indiqué Math Coss.
2) Pour un tel couple $(a,b)$, $x=a^2-b^2+2ab$ est l'abscisse d'une solution de l'équation de Namiswan. -
Bonsoir,
$(r^2-1)^2+(r^2)^2=t^2$.
$\bullet$$r$ pair alors
$r^2=2mn$ et $r^2-1=m^2-n^2=(m-n)(m+n)$ .
conséquences:
$m$ et $n$ sont étrangers et de parités opposées; $m$ est pair (sinon on aurait $r^2-1=-1$ et $m^2-n^2=1$ modulo $4$ .
$m:=2^{2k+1}M^2$ et $n:=N^2$, avec $M$ et $N$ étrangers impairs et $k$ naturel.
$r=2^{k+1}MN$
$r^2-1= ( 2^{2k+1}M^2-N^2 ) ( 2^{2k+1}M^2+N^2 )$ et aussi
$r^2-1= ( 2^{k+1}MN-1 ) ( 2^{k+1}MN+1 )$
cas 1
$2^{2k+1}M^2-N^2= 2^{k+1}MN-1$ et $2^{2k+1}M^2+N^2= 2^{k+1}MN+1$ qui donne
$M=N=1$ et $k=0$ (soit $r=2$ et donc $(r^2-1,r^2,t)=(3,4,5)$). On retrouve ainsi la solution moins triviale
$(7,20)$ de $1+x+x^2+x^3=y^2$ (on avait $x=2r^2-1$).
cas 2
$2^{2k+1}M^2-N^2< 2^{k+1}MN-1 < 2^{k+1}MN+1<2^{2k+1}M^2+N^2$
je n'ai pas su prouver qu'il ne fournissait pas de solution.
$\bullet$$r$ impair alors
$r^2=m^2-n^2$ et $r^2-1=2mn$ .
conséquences:
$(r,n,m)$ est un triplet de Pythagore avec $r$ impair et donc
$r=a^2-b^2$ et $n=2ab$ et $m=a^2+b^2$ avec $a$ et $b$ étrangers
$(a-b)^4=1 +8a^2b^2$...
Au lit!
A demain
Suite: or
$(a-b)^4=1 +8a^2b^2$ n'a que la solution $(1,0)$ (car $u^4-1=2v^2$ implique $u^2-1=w^2$, soit $(u,w)=(1,0)$.
Ainsi pour que le problème soit réglé de façon naïve, il reste à montrer sans utiliser les courbes elliptiques que dans le cas 2 ci-dessus il n'y a pas de solution! A vot' bon coeur!
Bien à tous
Paul
Edit -
Ce que j'en dis pour essayer de cerner les diverses équations diophantiennes qui débarquent sans être directement invitées. Au départ la courbe elliptique $y^2 = x^3 + x^2 + x = 1 = (x+1)(x^2 + 1)$ (nom de code 128a1). Changement naturel de variables pour tenir compte du point de 2-torsion $(x=-1, y=0)$ : $X = x+1$ i.e. $x =X-1$ donc $y^2 = X(X^2 + aX + b)$ avec $a = -2$ et $b=2$. De grandes chances que les torseurs $H_{b_1,a,b_2}$ avec $b_1b_2 = b$ pointent le bout de leur nez :
$$
H_{b_1,a,b_2} : \qquad v^2 = b_1u^4 + au^2w^2 + b_2w^4
$$
Effectivement (je zappe des intermédiaires), $H_{2,-2,1}$ débarque. Je l'écris en affine en changeant le nom des variables :
$$
Y^2 = (X^2)^2 + (X^2 - 1)^2 = 2X^4 - 2X^2 + 1 \qquad \hbox {quartique bicarrée} \qquad AY^2 = BX^4 + CX^2 + D
$$
La parole est à Ljunggren, cf http://www.numdam.org/item/RSMUP_2008__119__1_0/ https://arxiv.org/pdf/1306.0883.pdf
Recherche des points $S$-entiers de la quartique (ici $S = \emptyset$)[color=#000000] > SIntegralLjunggrenPoints([A,B,C,D], S) where A is 1 where B is 2 where C is -2 where D is 1 where S is [] ; [ [ 0, 1 ], [ 1, 1 ], [ -1, 1 ], [ 2, -5 ], [ -2, -5 ] ] [/color] -
Salut Claude,
Je me disais bien qu'une intervention sauce elliptique de Claude allait nous justifier cela. Enfin, reste à lire ce pdf pour bien cerner la chose.
Al-Kashi -
Bonjour à tous,
j'ai complété mon précédent message.
Amicalement
Paul -
Précision : je n'ai rien résolu du tout. Et je pose une question : en ce qui concerne les équations diophantiennes, qu'est ce qui est préférable : de les résoudre ou bien de les étudier ? A chacun sa réponse. Ici, est ce que ce n'est pas un alibi en or pour étudier un cas particulier du théorème de Siegel ? (voir après le trait, un extrait de Cohen).
$\bullet$ Une remarque qualitative sur l'équation $y^2 = (x+1)(x^2 + 1)$ à résoudre en nombres entiers : c'est que le rang $r$ des points rationnels de cette courbe elliptique vaut 1 et pas 0 : cela complique le binz mais l'enrichit. Comment voit-on cette histoire de rang 1 ? Je fais une fois pour toutes la translation $x+1 = X$ afin de mettre en position standard le point de 2-torsion :
$$
\fbox {$E : y^2 = x ((x-1)^2 + 1) = x(x^2 + ax + b)$}, \quad a = -2, \ b = 2, \qquad\quad
\overline E : y^2 = x(x^2 + \overline ax + \overline b), \ \overline a = -2a = 4, \quad \overline b = a^2 - 4b = -4
$$
Je suis en train de dérouler une mécanique de $\sqrt 2$-descente attachée au point de 2-torsion. Un résultat dit que le rang $r$ de $E(\Q)$ vérifie $r \le \omega(b) + \omega(\overline b) -1$ où $\omega$ est le nombre de facteurs premiers. Ce qui donne ici $r \le 1$.
$\bullet$ Et la théorie de $\sqrt 2$-descente dit qu'il faut étudier la $\Q$-solubilité des torseurs $H_{b_1,a,b_2} : v^2 = b_1u^4 + au^2 w^2 + b_2w^4$ avec $b_1, b_2$ nombres entiers vérifiant $b_1b_2 = b = 2$. Ce qui donne 4 couples mais les couples $(b_1,b_2) = (-1,-2), (-2,-1)$ fournissent des torseurs non $\R$-solubles. Restent
$$
H_{2,-2,1} : v^2 = 2u^4 - 2u^2w^2 + u^4 = (u^2 - w^2)^2 + u^4, \qquad\qquad
H_{1,-2,2} : v^2 = u^4 - 2u^2w^2 + 2w^4 = (u^2 - w^2)^2 + w^4
$$
$\bullet$ Ces torseurs sont ceux qui apparaissent quand on chante le truc suivant en présence d'une égalité en nombres entiers $y^2 = x x'$ : si $x, x'$ sont premiers en eux, alors $\pm x, \pm x'$ sont des carrés. Bref, ces torseurs apparaissent même si on ne veut pas en entendre parler.
$\bullet$ Ils sont $\Q$-solubles car $b_2 = 1$ à gauche et $b_1= 1$ à droite. Et de plus, ils sont $\Q$-isomorphes. Cela ne fait pas de mal de trouver quelques $\Q$-points que l'on balance sur $E$ via un machin que l'on appelle un revêtement de degré 2 : $H_{b_1,a,b_2} \to E$, $(u,v) \mapsto (b_1u^2, b_1uv)$ en $\{w=1\}$-affine. Et en grattant un peu, on obtient les points de $E$ :
$$
q_0 = (x=0,y=0)_E, \qquad q_1 = (x=2,y=\pm 2)_E, \qquad q_2 = (x=8,y=\pm 20)_E,\qquad q_3 = (x=1,y= \pm 1)_E
$$
$\bullet$ Evidemment, pas besoin de tout ce mic-mac pour obtenir ces points $\Q$-rationnels de $E$. Qui ont en plus la vertu d'être entiers dans le modèle affine. Le point $q_0$ est de 2-torsion mais les autres sont d'ordre infini. Et on passe de $r \le 1$ à $r = 1$. Note : les points $q_1, q_2, q_3$ sont d'ordre infini car il est très facile d'étudier les points de torsion d'une courbe elliptique rationnelle via Nagell-Lutz. Et ici, on obtient que $E(\Q)_{\rm tors.} = \Z/2\Z = \langle p_0\rangle$.
$\bullet$ Si je raconte tout cela, c'est juste pour dire la chose suivante : lorsque l'on cherche à résoudre cette équation diophantienne, on réalise des transformations, des calculs, certains raisonnements arithmétiques, on fait débarquer des triplets pythagoriciens ...etc.... Mais t'inquiètes (?) : à chaque instant, qu'on le veuille ou non, on (qui ça on ?) se balade sur une courbe attachée à $E$ (par exemple les torseurs $H_{b_1,a,b_2}$ au dessus de $E$, ou bien $\overline E$ ...etc..). Attention : je ne dis pas qu'on ne peut pas y arriver via une méga-astuce. Mais cela serait presque dommage (d'y arriver) car le plat de résistance nous attend : Siegel. Dans un cas particulier, bien entendu !! Et ensuite, si tout va bien, du dessert.
L'extrait en question. Il me semble important de bien faire attention aux mots choisis par Cohen. -
Bonjour,
@gai requin, tu écris : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1795204,1795448#msg-1795448
> Soit $(x,y)$ solution avec $x<0$. Comme $x^4-1=y^2(x-1)$ avec $x^4-1\geq 0$ et
> $y^2(x-1)\leq 0$, on a $x^4-1=y^2(x-1)=0$ donc $x=-1$ et $y=0$.
Sur ce topic
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1701388,1710044#msg-1710044
je donne le même type de solution qui provient d'un même raisonnement.
Pourquoi n'a-t-elle pas été retenue et pourquoi Lou16 me dit-il en MP que c'est faux sans vouloir m'en apporter la preuve ?
Merci pour un éclaircissement. -
@Robusta : Parce que deux nombres égaux ne sont pas forcément nuls.
Dans le message que tu as recopié, on a deux nombres égaux avec le premier positif et le second négatif donc, dans ce cas-là, ces nombres sont nuls. -
@gai-requin
Salut. Sais tu ce qui se passe quand on fait IntegralPoints(E) ($E$ équation de Weierstrass entière) ? -
Salut Claude,
Je sais que $E(\Z)$ est fini et je crois qu'on peut borner les solutions entières grâce à un des algorithmes LLL.
Cohen fait ça dans "Number Theory Volume 1" mais je n'ai jamais pris le temps de regarder sérieusement.
Est-ce que magma opère différemment ? -
@gai-requin
J'ai beau dire que c'est l'occasion d'étudier le truc, je t'avoue que j'ai la flemme en ce moment. Je vois déjà le temps que l'on a passé sur Selmer (sans vraiment terminer). Je me contente de repointer les deux pdfs déjà mentionnés dans mon avant-dernier post : http://www.numdam.org/article/RSMUP_2008__119__1_0.pdf et https://arxiv.org/pdf/1306.0883.pdf Et comme cela ne coûte rien, j'en ajoute un sur le sujet de Don Zagier https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.2307/2007900/fulltext.pdf. Je ne sais pas si on peut en tirer quelque chose rapidement (au bout de plusieurs semaines, probablement)
Quant à magma, j'ai accès aux sources (mais pas le courage actuellement de m'y coller). Je me contente de le mettre en verbose de manière à ce qu'il raconte les choses de la vie. Tu reconnaitras la musique au début (et ainsi tu ne regretteras pas d'avoir étudié un peu Selmer). Note : le RootNumber est $-1$, cela ne peut faire que du bien pour le rang anaytique. En ce qui concerne les différentes notions de hauteurs, je suis totalement ignare.[color=#000000] > E := EllipticCurve([0,1,0,1,1]) ; > E ; Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 + x + 1 over Rational Field > IsMinimalModel(E) ; true > jInvariant(E) ; 128 > Conductor(E) ; 128 > SetVerbose("IntegralPoints", 2) ; > IntegralPoints(E) ; Determining the Mordell-Weil group of Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 + x + 1 over Rational Field: Torsion Subgroup = Z/2 Analytic rank = 1 ==> Rank(E) = 1 The 2-Selmer group has rank 2 Found a point of infinite order. After 2-descent: 1 <= Rank(E) <= 1 Sha(E)[2] is trivial (Searched up to height 100 on the 2-coverings.) S = [* Infinity *] The height pairing (with respect to the chosen Mordell-Weil basis) is: [0.432331] Bounds on the height difference for E: -4.56602 <= h_naive - h_canon <= 0.387802 Current bound on canonical height = 6.10960E57 ==> bounds on contributions to naive height: [ 134.252 ] Current bound on canonical height = 124.944 ==> bounds on contributions to naive height: [ 5.66763 ] Current bound on canonical height = 6.91730 ==> bounds on contributions to naive height: [ 2.75036 ] Checking integrality of points with height up to 6.91730 Need to check 4 points Found S-integral points of height: 1 1 2 Time: 0.000 [ (-1 : 0 : 1), (0 : -1 : 1), (1 : 2 : 1), (7 : -20 : 1) ] [ <(-1 : 0 : 1), 1>, <(0 : -1 : 1), 1>, <(1 : 2 : 1), 1>, <(7 : -20 : 1), 1> ] [/color]Si je nomme les points un peu près comme dans mon dernier post (attention il y a un décalage d'une unité sur la coordonnée $x$), on a $E(\Q) = \Z/2\Z \oplus \Z = \langle p_0\rangle \oplus \langle p_3\rangle$ et l'expression des autres points sur $p_0, p_3$.[color=#000000] > p0 := E![-1,0] ; p3 := E![0,1] ; p1 := E![1,2] ; p2 := E![7,20] ; > p1 eq p0 - p3 ; true > p2 eq p0 + 2*p3 ; true [/color]
Pour le fun, quelques points rationnels[color=#000000] > 2*p3 ; (-3/4 : -5/8 : 1) > 3*p3 ; (40/9 : -287/27 : 1) > 10*p3 ; (5801645105015653917/178248417060236644 : -14193933423660208876739783525/75255548017623349577258728 : 1) [/color]
-
Merci !
Et oui, il faut prendre de la hauteur. ;-) -
Bonjour,
La solution que je propose, pour le problème initial soulevé par ce fil, manque légèrement de probité, car elle utilise à un moment donné un résultat difficile dû à Ljunggren, dont j'ignore la démonstration, et que Pierre Samuel, dans un article du "Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux tome 14", qualifie de "profond" et admet: $ \boxed{\forall (x,y) \in \N^2, \:\:\:x^2-2y^4 = -1 \iff (x,y) = (1,1)\:\:\text {ou} \:\: (x,y)= (239,13) \:\:\:\:(\star)}$.
Soient donc $(x,y)\in \Z \times \N^*$ tel que $(1+x)(1+x^2) = y^2$.
Si $x$ est pair , alors $(1+x) \wedge (1+x^2)=1 ,\:\:\:1+x^2$ est le carré d'un entier et $x=0$.
Si $x$ est impair, alors $\left(\dfrac {1+x}2\right)\left(\dfrac {1+x^2}2\right) = \left(\dfrac y2\right)^2.\:\:$ Les facteurs du produit sont alors premiers entre eux et
$\exists r,s \in \N^*\:$ tels que: $\:\: 1+x = 2r^2,\:\:\: 1+x^2 = 2s^2,\:$ d'où l'on déduit: $\boxed{\:(2r^2-1)^2 = 2s^2 -1.\:\:\:(1)}$
Ainsi, dans l' anneau factoriel $\Z[ \alpha]\:\: (\alpha = \sqrt 2),\:\: -(1+s\alpha)(1 -s\alpha)$ est un carré, les facteurs de ce produit sont premiers entre eux, et ainsi, $1+s\alpha $ est associé à un carré de $\Z[\alpha]$.
En notant $\varepsilon = 1 +\alpha$, le groupe des inversibles de $\Z[\alpha]$ est $\:\:\mathcal U = \{ \pm \varepsilon ^n \:/\: n\in \N\},\:$ et $ \exists u,v,n \in \Z\:$ tels que:$\: 1+s\alpha = \pm\varepsilon ^n( u+v\alpha)^2$, puis que $u =v=1$
Si $n$ est pair, alors $\exists u,v \in \Z $ tels que $\pm (1+ s\alpha) = (u + v\alpha) ^2,\:$ ce qui donne: $u^2 + 2v^2 = \pm 1,\:\: 2uv= \pm s$.
Il s'ensuit que $ s=0$ et donc une impossibilité.
Si $n$ est impair, alors $ \exists u\in \N,\:v \in \Z$ tels que $ u\wedge v = 1$ et $\:\:\pm\varepsilon (1+s\alpha) = (u+v\alpha)^2$.
$ A)\:\:$Dans le cas $"+"$, on obtient $ \boxed{1+2s = u^2 +2v^2\:\:(2)},\:\:\:\:\:\boxed{1+s = 2uv \:\:\:\: (3)} \:\:\text{et} \:\:\:\:\boxed{ s = u^2 +2v^2-2uv \:\:\: (4)}$, puis$\:\:\:2s^2-1= (1+2s)^2-2(1+s)^2= (u^2-2v^2)^2$. Ainsi, avec $(1)$, on parvient à $u^2 - 2v^2 = \pm (2r^2 -1 ) $.
$\:\:\:\:\:1) $ Si $u^2 -2v^2 = 2r^2 -1,$ il vient avec $(2):\:\:\: r^2 =u^2-s$, puis avec $(4), \: r^2 = 2v(u-v)$.
La relation $(3)$ entraine que $s$ est impair, donc que $ 1+2s \equiv 3 \mod 4$ et avec $(2)$, on arrive à: $v$ est impair.
$r^2 = 2v(u-v),\: u\wedge v =1,\: v $ impair $ \implies v= p^2, \:\: p\in \N$.
D'autre part, $ (2)$ et $(3)\implies u^2 +2v^2 - 4uv +1 =0 \implies 2v^2 -1 = (u-2v)^2 \implies 2 p^4- 1= (u-2v)^2$
On est alors bien content de connaitre $(\star)$, pour en conclure que $(v =1\:\text{et}\: u-2v =\pm1)$ ou $(v=169\:\text{et}\: u -2v= \pm 239)$
Cela nous mène à la solution $(x,y) =(7,20)$ pour le problème initial.
$\:\:\:\:\:2)$ Si $ u^2 -2v^2 = 1-2r^2$, il vient avec $(2): \:\:u^2 = 1-r^2 +s$, puis , avec $(3): \: r^2 = u(2v-u),\:$ d'où comme dans le cas précédent, $ u =p^2 ,\:\: p \in \N,\:\:$ et $(2)$ , $(3)\implies u^2-1 = 2 (v-u) ^2 \implies p^4 -1 = 2(v-u)^2$.
Ici aussi, il est bon de savoir que : $X^4-2Y^2 =1, \:\: X,Y \in \N \iff (X,Y)=(1,0)$, mais c'est un résultat infiniment plus accessible que $(\star)$. (quelques lignes suffisent pour ceux qui connaissent les ressorts de l'équation de "Pell-Fermat" $X^2 - 2Y^2 = 1 $, ou bien , encore plus simplement; comme le fait remarquer Namiswan dans un message ultérieur, pour ceux qui partiront de $(X^2-1)(X^2+1) = 2Y^2$).
On obtient ainsi la solution $(x,y)= (1,2)$ pour notre problème.
$\:B)$ Le cas $"-"$ donne: $\:\:-1- 2s = u^2+2v^2$ , et la chose est impossible car $s\in \N^*$.
Ainsi: $\boxed{\forall (x , y) \in \Z\times \N, \:\: y^2 = 1+x+x^2+x^3 \iff (x,y) \in \left\{ (-1,0); \:(0,1);\: (1,2) ; \:(7,20)\right\}}$ -
$\def\P{\mathbb P}$Bonjour LOU16,
Je n'ai pas encore lu ta preuve mais je compte le faire. A propos de l'équation de Ljunggren, que j'écris $y^2 = 2x^4 - 1$ (attention à l'inversion de $x,y$ par rapport à toi), les 2 auteurs Alekseyev et Tengely en parlent à la page 8 de https://arxiv.org/pdf/1306.0883.pdf, papier que j'ai déjà cité, qui date de 2014. Ljunggren, je dirais que cela date des années 1940-45 (à vérifier). Les 2 auteurs en question citent un autre papier, qui date de 1991, consacré à une simplification de l'étude de l'équation de Ljunggren. Enfin, Cohen parle dans son volume 1, de l'équation $y^2 = x^n + t$ dans la section 6.7 et à partir de la section 6.8 s'intéresse aux carrés ou aux doubles des carrés qui apparaissent dans la suite de Fibonacci ou de Lucas. Et mentionne Ljunggren (sans preuve) à la page 424, cf th 6.8.5 et 6.8.6.
$\bullet$ J'aimerais comprendre, de manière qualitative, pourquoi et comment $\Z[\sqrt 2]$ débarque dans l'histoire initiale $y^2 = (x+1)(x^2 + 1)$ et que vient faire la courbe de Ljunggren.
$\bullet$ Deux mots des équations de type Ljunggren $\fbox{$C : \ ay^2 = bx^4 + cx^2 + d$}$.
Pour l'instant, c'est purement algébrique : $a, b,c,d$ sont dans un corps, assez quelconques, et pas trop particuliers. Par exemple $a, b$ sont non nuls, cf plus loin, la précision sur un certain discriminant qui doit être non nul. On multiplie l'équation par $x^2$ :
$$
a(xy)^2 = b(x^2)^3 + c(x^2)^2 + dx^2 \qquad \qquad
aY_1^2 = bX_1^3 + cX_1^2 + dX_1 \qquad\qquad \cases {X_1 = x^2\cr Y_1 = xy}
$$
On vient de faire apparaître une cubique, à unitariser en $(X_1, Y_1)$ pour obtenir du Weierstrass court via un procédé standard (on utilise le fait que $2,3$ sont premiers entre eux). Bref, on multiplie par $a^3b^2$ et on fait rentrer telle variable avec coefficient là où elle doit rentrer :
$$
(a^2bY_1)^2 = (abX_1)^3 + \underline {ac}\, (abX_1)^2 + \underline {a^2bd}\, (abX_1)
\qquad
\fbox {$E : \ Y^2 = X^3 + ac X^2 + a^2bd X$} \qquad\qquad
\cases {X = abX_1 = abx^2 \cr Y = a^2bY_1 = a^2bxy}
$$
On vient de faire apparaître une courbe elliptique $E$, à condition que le discriminant du polynôme cubique soit non nul. Ainsi qu'un revêtement (de degré 2)
$$
C \to E, \qquad (x,y) \to (X,Y), \qquad \qquad
(x : y : z) \longmapsto (X = abx^2z : Y = a^2bxy : Z = z^3)
$$
A droite, c'est pour mézigue, pour me souvenir des poids : $C$ vit dans l'espace projectif $\P^2(1,2,1)_{(x:y:z)}$ tandis que $E$ vit dans $\P^2_{(X:Y:Z)}$ ordinaire. Je ne crois pas avoir vu ce revêtement ``autrefois'' : ce qui m'étonne c'est qu'il coiffe une courbe elliptique avec un point rationnel $(X = 0, Y=0)$ de 2-torsion.
$\bullet$ Passons à la chose arithmétique où $a,b,c,d$ sont entiers et on cherche les solutions entières de $C$. On balance la purée sur $E$, on cherche les points entiers $(X,Y)$ sur $E$ et on essaie de revenir en arrière en cherchant $x,y$ entiers vérifiant $abx^2 = X$ et $a^2bxy = Y$.
$\bullet$ Exemple. La courbe de Ljunggren. On a $a=1, b=2, c=0, d = -1$. La courbe elliptique obtenue est $E : Y^2 = X^3 - 2X = X(X^2 - 2)$. Et là même scénario que celui déjà évoqué : courbe de rang 1 avec le point de 2-torsion $(X=0,Y=0)$ et le point générateur $(X=-1, Y=1)$. Je laisse faire la machinerie pour les points entiers.[color=#000000] > E := EllipticCurve([-2,0]) ; > E ; Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 2*x over Rational Field > RootNumber(E) ; -1 > SetVerbose("IntegralPoints", 2) ; > IntegralPoints(E) ; Determining the Mordell-Weil group of Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 2*x over Rational Field: Torsion Subgroup = Z/2 Analytic rank = 1 ==> Rank(E) = 1 The 2-Selmer group has rank 2 Found a point of infinite order. After 2-descent: 1 <= Rank(E) <= 1 Sha(E)[2] is trivial (Searched up to height 100 on the 2-coverings.) S = [* Infinity *] The height pairing (with respect to the chosen Mordell-Weil basis) is: [0.608709] Bounds on the height difference for E: -4.42217 <= h_naive - h_canon <= 0.346573 Current bound on canonical height = 1.11973E56 ==> bounds on contributions to naive height: [ 132.155 ] Current bound on canonical height = 119.307 ==> bounds on contributions to naive height: [ 6.39703 ] Current bound on canonical height = 9.73935 ==> bounds on contributions to naive height: [ 5.83954 ] Checking integrality of points with height up to 9.73935 Need to check 4 points Found S-integral points of height: 1 1 6 Time: 0.000 [ (-1 : -1 : 1), (0 : 0 : 1), (2 : -2 : 1), (338 : -6214 : 1) ] [ <(-1 : -1 : 1), 1>, <(0 : 0 : 1), 1>, <(2 : -2 : 1), 1>, <(338 : -6214 : 1), 1> ] [/color]Les $(X,Y)$ sont ci-dessus. Et il faut revenir en arrière pour $(x,y)$ via $2x^2 = X$ et $2xy = Y$ Je vire les signes i.e. je ne retiens que du positif. Il n'y a que $(X,Y) = (2, 2)$ et $(X,Y) = (338,6214)$ qui donnent quelque chose :
$$
2x^2 =2, 2xy = 2 \rightarrow (x=1,y=1)_{\rm Ljunggren}, \qquad\qquad
2x^2 =338, 2xy = 6214 \rightarrow (x=13,y=239)_{\rm Ljunggren}
$$
$\bullet$ Il faudrait essayer de comprendre pourquoi la courbe de Ljunggren a acquis une certaine célébrité. Parce qu'il est venu à bout le premier de l'étude des points entiers sur un exemple ? Je vois deux dates pour Siegel : 1926 et 1966 (dans le Silverman-Tate) et 1966 pour Baker. -
Bonjour Claude,
Je ne sais pas si $\Z[\sqrt2]$ est vraiment au cœur de cette histoire ou bien s'il s'agit d'un détour dont j'aurais pu faire l'économie.
J'ai fait intervenir cet anneau parce que j'étais paumé dans une jungle d'équations et qu'il me fallait bien tenter quelque chose pour sortir vivant de cette aventure.
Et comme un excursionniste chanceux, perdu dans la forêt amazonienne, j'ai fini par rencontrer la rivière des "$2x^4 -y^2 = 1 \:\text {et}\: x^4- 2y^2 = 1$". -
Merci à tous pour vos interventions, et à LOU16 pour sa preuve. C'est amusant que la preuve passe par $\Z[\sqrt{2}]$ plutôt que $\Z$ (mais effectivement tous ces "2k^2" qui apparaissent naturellement, ça peut donner envie.
Pour l'équation "facile" $x^4-2y^2=1$, pas besoin de passer par $\Z[\sqrt{2}]$: $x$ est impair, puis $(x^2-1)\left(\frac{x^2+1}{2}\right)=y^2$ avec les deux termes du produit de gauche premiers entre eux, donc en particulier $x^2-1$ est un carré donc $x=\pm 1$.
Il serait dommage de devoir se ramener à cette équation $2x^4-1=y^2$ qui se résout dans une boite noire (qui d'après les liens de Claude semble pouvoir se ramener élémentairement à des équations de Thue, mais même les équations de Thue ne sont pas des équations simples en soit). On peut peut être espérer s'en passer car la preuve de LOU16 semble laisser des informations en chemin (par ex que $2(u-v)$ est un carré). Mais félicitations tout de même! -
LOU16, Namiswan,
Pas grand chose dans le post qui vient. Juste pour vous dire que, pour l'instant, je suis dans le noir. Vous allez dire ou penser que c'est mon problème ; c'est pas faux. Je ne cherches pas des excuses mais :
1) Jungle, forêt amazonienne et tout le truc. Cela m'est interdit vu mon grand âge, le fait que je sois retraité ...etc.. En fait, la vraie vérité, c'est que si je rentre dans une forêt et même un petit bois, je me paume dans les 5 minutes qui suivent. Je crois pouvoir dire que seul LOU16 arrive à cheminer dans ce type de terrains : il s'arme d'un certain nombre de variables, de numéros d'équations, d'encadrés ... etc .. Et il s'en sort vachement bien. J'ai essayé d'analyser son post comme j'avais fait pour certains de ces posts dans le passé. Et pour l'instant niet (= je n'ai pas débusqué de courbes et revêtements comme autrefois, enfin si, un peu mais pas assez).
2) Oeuf, poule, boîte noire ...etc.. Là, il y a quand même un souci. On utilise les solutions de l'équation de Ljunggren $C : y^2 = 2x^4 - 1$, qui sont étroitement liées à celles de (l'équation affine de Weierstrass de) la courbe elliptique $E_{\rm Ljunggren} : Y^2 = X(X^2 - 2)$, comme j'ai essayé de l'expliquer. Liées du moins dans le sens courbe elliptique $E_{\rm Ljunggren}$ vers $C$. Et peut-être dans l'autre sens, je n'ai pas assez réfléchi (i.e. si on dispose des solutions entières de $C$, peut-on obtenir celles de $E_{\rm Ljunggren}$ ?).
Or l'objet d'étude $E_{\rm Namiswan} : Y^2 = (X+1)(X^2 + 1)$, ou $Y^2 = X((X-1)^2 + 1)$ si l'on veut, est de même nature que $E_{\rm Ljunggren}$. Et donc, on est en droit de s'interroger.
Je vous avais prévenu : pas grand chose, voire rien. Vous êtes en droit de prévenir la modération.
Note : $\Z[\sqrt 2]$ ok. Il avait déjà pointé le bout de son nez via MathCoss qui avait écrit quelque chose du type : $Y^2 = (X^2-1)^2 + (X^2)^2$ pareil que $(2X^2-1)^2 - 2Y^2 = -1$. -
@LOU16
1) Un mini détail, ligne 9 à partir de la fin ``On est alors bien content ...etc..''. Tu trouves les 2 valeurs de $v$ (1 et 169) et $u - 2v = \pm 1$ quand $v = 1$ et $u - 2v = \pm 239$ quand $v = 169$. OK. Mais, ensuite, je trouve, pour $v = 1$, que l'on peut prendre $u -2v = -1$ i.e. $u=1$ ; ce qui conduit à $s = 1$ ($s$ vaut $2uv - 1$), ce qui fournit $(x = 1, y = 2$). En PLUS de ta solution $(x = 7, y = 20)$.
Vois tu ce que je veux dire ?
2) J'ai trouvé ce que je cherchais (courbes et revêtements). Cela va peut-être dans le sens du dernier post de Nawisman. Dans la branche A) 1), tu écris $2v(u-v) = r^2$, et $v = p^2$. Mais on peut utiliser que $2(u-v)$ est un carré pair : $2(u-v) = (2q)^2$ i.e. $u-v = 2q^2$. Une chance que la lettre $q$ soit disponible ! Donc :
$$
v = p^2, \qquad u = v + 2q^2 = p^2 + 2q^2 \qquad\hbox {ce qui fait $r = 2pq$}
$$
Bilan : on dispose d'une courbe en $(p,q)$ obtenue via $2p^4 - 1 = (u - 2v)^2$ en remplaçant $u, v$ par les valeurs ci-dessus. Ce qui donne :
$$
C_{pq} : \qquad 2p^4 - 1 = (2q^2 - p^2)^2
$$
On a quitté la courbe de Ljunggren ! La courbe $C_{pq}$ ci-dessus est de genre 3. Et coiffe la courbe de genre 1 :
$$
C_{s,r} : \qquad (2r^2 - 1)^2 = 2s^2 - 1
$$
Coiffe, cela signifie que l'on a un revêtement $C_{p,q} \to C_{s,r}$ donné par $s = 2uv-1$, $r = 2pq$ i.e.
$$
(p,q) \longmapsto (s = 2(p^2 + 2q^2) p^2 - 1, \ r = 2pq)
$$
C'est tout pour ce soir. -
@Claude Quitté
Merci pour ta lecture minutieuse , qui doit demander quelques efforts, d'un texte où, pour ne pas trop l'alourdir, je me suis exonéré de beaucoup de détails: $u =v=1$ est dans ce cas impossible, car cela contredit $u^2-2v^2 = 2r^2 -1$, et cela n'avait rien de clair.
Il m'arrive d'ailleurs assez souvent de ne rien comprendre à certaines démonstrations dont je suis bien obligé d'admettre que j'en suis le rédacteur. -
$\def\P{\mathbb P}$@LOU16
Je me suis aperçu ensuite que $u=v=1$ n'était pas compatible avec $r$ au sens où cela conduisait à $r=0$, ... ce qui nous conduisait dans le mur.
$\bullet$ En ce qui concerne ma relecture que tu qualifies de minutieuse : je ne peux pas faire autrement si je veux débusquer les diverses courbes sur lesquelles on fait joujou ainsi que les revêtements. J'en ai localisé 4 (courbes) mais cela n'intéresse peut-être que moi. J'en montre deux. Celle de genre 3, baptisée en affine hier soir $C_{p,q}$, que j'ai homogénéisée dans du $\P^2_{(p:q:m)}$ ordinaire (merci de m'avoir laissé également la lettre $m$). Courbe homogénéisée que j'ai baptisée $C_3$ car elle est de genre $(4-1)(4-2)/2 = 3$. Le 4 est le degré du polynôme homogène lisse qui la définit :
$$
p^4 + 4p^2q^2 - 4q^4 - m^4 = 0
$$[color=#000000] P2<p,q,m> := ProjectiveSpace(k,2) ; C3 := Curve(P2, 2*p^4 - m^4 - (2*q^2 - p^2)^2) ; // Curve over Rational Field defined by p^4 + 4*p^2*q^2 - 4*q^4 - m^4 Points(C3 : Bound := 10^2) ; // {@ (1 : 1 : 1), (-1 : 0 : 1), (-1 : 1 : 1), (1 : 0 : 1), (1 : -1 : 1), (-1 : -1 : 1) @} [/color]Cela ne se voit pas mais elle est montée sur $k = \Q$. Tout nous laisse croire qu'elle ne possède que les 6 points $\Q$-rationnels que l'on voit ci-dessus. Rappel : Faltings dit qu'une telle courbe n'a qu'un nombre fini de $\Q$-points. Montrer que ces 6 points sont les seuls serait une autre approche que celle de passer par la courbe de Ljunggren (de genre 1).
J'ai également monté $C_3$ sur l'anneau $k = \Z$ afin de la réduire modulo $p$, en espérant y voir quelque chose. En $p=2$, elle n'est plus lisse. Note : la courbe elliptique initiale $y^2 = (x+1)(x^2+1)$ ne possède qu'un premier $p$ de mauvaise réduction à savoir $p = 2$.
Remarque : $C_3$ admet quelques automorphismes : $(p : q : m) \mapsto (\pm p : \pm q : \pm m)$.
$\bullet$ La courbe de Ljunggren : en affine, chez moi $y^2 = 2x^4 - 1$, que j'ai homogénéisé dans $\P^2(1,2,1)_{(x:y:z)}$ et qui possède également quelques automorphismes simples versus $\pm x, \pm y, \pm z$ :[color=#000000] // Ljunggren P121<x,y,z> := ProjectiveSpace(k,[1,2,1]) ; L := Curve(P121, 2*x^4 - z^4 - y^2) ; [/color]
$\bullet$ Le revêtement $C_3 \to L$[color=#000000] // x = p (poids 1), y = 2q^2 - p^2 (poids 2), z = m (poids 1) C3toL := map < C3 -> L | [p, 2*q^2 - p^2, m] > ; assert Degree(C3toL) eq 2 ; > C3points := Points(C3 : Bound := 10^2) ; > C3toL(C3points) ; {@ (1 : 1 : 1), (-1 : -1 : 1), (-1 : 1 : 1), (1 : -1 : 1) @} [/color]Les 6 points de $C_3$ sont envoyés sur les 4 points $(x=\pm 1 : y = \pm 1)_L$. Tenir compte du fait qu'il y a de la ramification en haut pour que :
$$
2 - 2g_{\rm haut} = \hbox {degré du revêtement} \times (2 - 2g_{\rm bas}) - \hbox {degré(différente)}
$$
I.e. $2 - 2\times 3 = 2 \times (2 - 2\times 1) - \hbox {degré(différente)}$. Du degré 4 pour la ramification en haut : il s'agit des points pour lesquels $q=0$, définis sur $\Q(i)$, i.e. les points $(\pm 1 : 0 : 1)$, $(\pm i : 0 : 1)$.
Je me suis bien amusé.
Partant pour cerner les $\Q$-points de $C_3$ ? -
Bonjour Claude,
Parmi les quatre courbes que tu as repérées, il en est une à propos de laquelle j'ai peut-être des choses qui peuvent t'intéresser.
J'ai jusqu' ici passé sous silence, parce que cela n'apportait rien à la discussion, le fait que l'équation de Ljunggren $2x^4-y^2 =1$ est pour moi une vieille connaissance et qu'il y a une dizaine d'années, j'avais espéré la résoudre avec des outils relativement élémentaires.
En effet, avec une certaine satisfaction, j'avais mis la main sur tous les $(x,y,z)\in\Z^3$ tels que $2x^4-y^4 =z^2$, dont l'ensemble est infini, et qui s'organisent d'une façon que j'avais trouvée spectaculaire:
Je me borne pour l'instant à recopier les dernières lignes de mes notes que je redécouvre et que je vais devoir décrypter:
$\mathcal E =\{(x,y) \in (\N^*)^2 / x\wedge y =1, \: \exists z \in \N \:\:\text{tel que}\:\: 2x^4-y^4 = z^2\}$. Alors:
$\bullet\:\: \exists \Phi: \:\: \mathcal E\setminus\{(1,1)\} \longrightarrow \mathcal E\:\:\: $ tel que $ \forall (x,y) \in \mathcal E\setminus\{(1,1)\},\:\:\:\Phi(x,y) =(u,v) \implies 1\leqslant u <x$.
$\bullet \;\: (1,1)$ possède un unique antécédent par $\Phi:\:\: (13,1),\:\:$ et tout autre élément de $\mathcal E$ possède exactement deux antécédents par $\Phi$.
Ainsi , l'ensemble $\mathcal E$ est celui des nœuds de l'arbre infini binaire dont le début du déploiement est:
$$\xymatrix{(1525,1343) \ar[rd]^{\Phi}&&(2165017,2372159) \ar[ld]_{\Phi}\\ &(13,1)\ar[d]^{\Phi}&\\&(1,1) &\\}$$
$\forall (u,v) \in \mathcal E\setminus \{(1,1)\}$ tel que $2u^4-v^4 = w^2$, les deux antécédents de $(u,v)$ par $\Phi$ sont $(x_{\varepsilon},y_{\varepsilon})$ où $\varepsilon = \pm1$ et
$x_{\varepsilon}=\dfrac {u^2(uv+\varepsilon w)^2+ v^2(u^2-v^2)^2}{\delta_{\varepsilon}^2};\:\:\:y_{\varepsilon} = \left|\dfrac{v^2(uv+\varepsilon w)^2 -2u^2(u^2-v^2)^2}{\delta_{\varepsilon}^2}\right| \:\:$ avec $\delta_{\varepsilon} =|uv +\varepsilon w|\wedge |u^2 - v^2|$.
Je n'ai pas su, avec ces formules, prouver que l'arbre ne contient pas d'autre sommet du type $(x,1)$, même si la deuxième coordonnée des couples engendrés semble devoir devenir très rapidement astronomique.
Pour le même prix, j'avais résolu l'équation diophantienne $ x^4 - 2y^4 = z^2$ dont les solutions sont structurées de manière analogue, et de plus, reliées à celles de $x^4 -2y^4=z^2$. -
$\def\P{\mathbb P}$@LOU16 Je tire ton post pour lire et réfléchir.
J'ai un peu avancé sur les courbes. Ne pas oublier qu'elles viennent toutes de ta forêt amazonienne (idem pour les revêtements). Sauf que j'ai sorti $C_3$ que tu avais planqué. C'est mon infirmité à me déplacer dans la jungle qui m'oblige à mettre des panneaux les plus clairs possibles pour éviter de me perdre. Tout ce beau monde descend de $C_3$, celle de genre 3, définie par un polynôme homogène en $p,q,m$ de degré 4. On voit les 3 automorphismes involutifs $a,b,c$ suivants de $C_3$, qui commutent deux à deux :
$$
a : (p : q : m) \mapsto (-p : q : m), \qquad\qquad
b : (p : q : m) \mapsto (p : -q : m), \qquad\qquad
c : (p : q : m) \mapsto (p : q : -m)
$$
je vais quotienter $C_3$ par ces automorphismes.[color=#000000] > C3 ; Curve over Rational Field defined by p^4 + 4*p^2*q^2 - 4*q^4 - m^4 // Les 3 automorphismes involutifs a,b,c de C3 : <a,b,c> = C2xC2 a := iso < C3 -> C3 | [-p,q,m], [-p,q,m] > ; b := iso < C3 -> C3 | [p,-q,m], [p,-q,m] > ; c := iso < C3 -> C3 | [p,q,-m], [p,q,-m] > ; assert a*b*c eq IdentityMap(C3) ; [/color]
Et on a un revêtement $C_3 \to L= L_{\rm Ljuggren} \subset \P^2(1,2,1)_{(x:y:z)}$
$$
(p : q : m) \mapsto (x = p : y = 2q^2 - p^2 : z = m)
$$
Ce revêtement est clairement invariant par $b$ qui réalise $q \leftrightarrow -q$, sans toucher à $p, m$. Tout cela pour dire que le quotient de $C_3$ par $b$, c'est la courbe de Ljunggren.
Je ne peux pas tout expliquer mais voilà un aperçu du truc. Se méfier des équations qui ne sont pas des invariants des courbes. Comme les courbes (lisses) en dessous de $C_3$ sont de genre 1 avec un point $\Q$-rationnel, ce sont des courbes elliptiques que je fournis par leurs Cremona-références (c'est du solide, les équations non).
$$
\xymatrix @R=0.8cm @C=1.6cm {
&& C_3\ar[dll]|2 \ar[dl]|2 \ar[dr]|2 \ar[drr]|4^{\text{C3toC1 en magma (degré 4)}} \\
C_3/a & C_3/b && C'_1=C_3/c & C_1 \\
256b_1\ar@/^10pt/[r] & 256b_2\ar@/^10pt/[l] && 128a_1 \ar@/^10pt/[r] & 128a_2 \ar@/^10pt/[l] \\
Y^2=X(X^2-2) & {y^2 = 2x^4 - z^4 \atop Y^2=X(X^2+8)} && { Y^2 = X((X-1)^2 + 1) \atop Y^2 = X(X^2 - 2X+2) } & Y^2=X(X^2-4X+4)\\
\text{2-cousine de Ljunggren} & \text{Ljunggren} && \text{Namiswan} & \text{2-cousine de Namiswan} \\
}
$$
Cette histoire de 2-cousines provient du fait que les courbes elliptiques qui sont ici ont un unique point de 2-torsion $\Q$-rationnel. J'ai mis ce point en position standard. Et si j'écris $E : y^2 = x(x^2 + ax + b)$, la 2-cousine de $E$ attachée au point de 2-torsion $(x=0,y=0)_E$, est $\overline E : y^2 = x(x^2 + \overline a x + \overline b)$ avec :
$$
\overline a = -2a, \qquad \overline b = a^2 - 4b
$$
Et du coup la 2-cousine de $\overline E$ est (isomorphe à) $E$. Les traits horizontaux sont des revêtements d'ordre 2 (on dit des 2-isogénies pour des courbes elliptiques).
Quand je dis que tout vient de chez toi, c'est vrai. Par exemple, $C_1$ c'est ta courbe en $s,r$ que j'ai homogénéisé dans (je n'ai pas le choix) $\P^2(1,2,1)_{(r : s : t)}$. Note que $t$ était disponible (en fait, tu m'avais laissé pas mal de lettres dans l'alphabet)[color=#000000] // Attention : je mets s au milieu par habitude car son poids est le double de celui de r, t // r = 2pq (poids 2), s = p^4 + 4*q^4 (poids 4) t = m^2 (poids 2) P121<r,s,t> := ProjectiveSpace(k,[1,2,1]) ; C1 := Curve(P121, (2*r^2-t^2)^2 + t^4 - 2*s^2) ; C3toC1 := map < C3 -> C1 | [2*p*q, p^4 + 4*q^4, m^2] > ; assert Degree(C3toC1) eq 4 ; EC1 := EllipticCurve(C1, C1![1,1,1]) ; assert CremonaReference(EC1) eq "128a2" ; assert c*C3toC1 eq C3toC1 ; [/color]
Bilan : qu'est ce qui a fait se renconter Namiswan et Ljunggren (les courbes de) ? Le fait qu'elles possèdent l'aïeul $C_3$ en commun. -
$\def\P{\mathbb P}$@LOU16
A propos de ton dernier post. Je note $L$ la courbe de Ljunggren $Y^2 = 2X^4 - 1$ qui possède des points $\Q$-rationnels (et même entiers) comme $(X=1,Y=1)_L$. Je suppose que tu le sais : elle possède une structure de courbe elliptique $E$, ce qui provient justement de l'existence d'un point $\Q$-rationnel, que l'on choisira comme le neutre de la courbe elliptique. C'est l'algorithme de Nagell (on le trouve chez Cohen, dans le petit livre de Cassels ...etc..). De plus, $E(\Q) = \Z/2\Z \oplus \Z$, ce qui pourrait peut-être expliquer/justifier des ``choses'' dans la combinatoire de ton post.
Nagell : il faudrait avoir le courage de le faire à la main, histoire de contrôler les choix. Ici, je vais laisser faire le logiciel (en intervenant quand même), avec l'avantage que ce n'est pas trop fatiguant et avec l'inconvénient d'obtenir des expressions pas toujours simples. J'ai pris comme point-base sur $L$ le point $(X=1,Y=1)_L$, je ne sais pas si c'est judicieux.[color=#000000] > L ; Hyperelliptic Curve defined by y^2 = 2*x^4 - 1 over Rational Field > E1<x1,y1,z1>, f := EllipticCurve(L, L![1,1]) ; > E1 ; Elliptic Curve defined by y^2 - 4*x*y - 48*y = x^3 + 20*x^2 + 104*x over Rational Field > Inverse(f) : Minimal ; (x1 : y1 : z1) -> (y1*z1 : 2*x1^3*z1 + 20*x1^2*z1^2 + 4*x1*y1*z1^2 - y1^2*z1^2 : 2*x1*z1 + y1*z1) [/color]
Il est entendu que la courbe hyperelliptique $L$ est réalisée dans $\P^2(1,2,1)_{(X : Y : Z)}$, ce qui explique à l'arrivée les degrés $(2,4,2)$. Le résultat n'est pas jojo. On va le simplifier en considérant le modèle de Weierstrass $\Z$-minimal de $E_1$ (qui est unique si on le veut bien le rigidifier, c'est très important pour l'unicité).[color=#000000] > E<x,y,z>, g := MinimalModel(E1) ; > E ; Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + 8*x over Rational Field > CremonaReference(E) ; 256b2 [/color]
$E$ et $E_1$, c'est pareil mais $E$ est plus agréable. Je ne te montre pas les expressions de $f$, de $g$, de $g^{-1}$. Ce qui nous intéresse, ce sont les composés, de façon à mettre en isomorphie $E$ et $L$. Attention au fait que $\text{truc} * \text{machin} = \text{machin} \circ \text{truc}$[color=#000000] > h := Inverse(f*g) ; > h : Minimal ; (x : y : z) -> (2*x*z + y*z + 8*z^2 : 2*x^3*z - 24*x^2*z^2 - y^2*z^2 - 48*y*z^3 - 64*z^4 : 4*x*z + y*z - 8*z^2) > Inverse(h) : Minimal ; (X : Y : Z) -> (-4*X^3 + 4*X^2*Z - 2*X*Y + 2*X*Z^2 + 2*Y*Z - 2*Z^3 : 8*X^3 + 8*X*Y - 4*Y*Z - 4*Z^3 : -X^3 + 3*X^2*Z - 3*X*Z^2 + Z^3) [/color]
Maintenant, on va prendre quelques points sur $E$ ou sur $L$ et voir ce que cela donne via $h$, $h^{-1}$. Sur $E : y^2 = x^3 + 8x = x(x^2 + 8)$, il y a le point $p_0 = (x=0,y=0)_E$ et $p_1 = (x=1,y=3)_E$. Le premier est de 2-torsion et constitue la torsion de $E(\Q)$ ; quant au second, c'est un générateur de $E(\Q)$ modulo la torsion.[color=#000000] > p0 := E![0,0] ; > p1 := E![1,3] ; > h(E!0) ; (1 : 1 : 1) > h(p0) ; (-1 : -1 : 1) > h(p1) ; (-13 : -239 : 1) > p0-p1 ; (8 : 24 : 1) > h(p0-p1) ; (1 : -1 : 1) [/color]
Montrer que $E(\Q)$ est de rang 1 et même que $E(\Q) = \langle p_0\rangle \oplus \langle p_1\rangle$ demande un peu de travail mais c'est plus facile que Siegel ! C'est la théorie ici de la $\sqrt 2$-descente, groupes de Selmer and co. Comme avec GaiRequin, on n'avait rien à faire, cela nous a occupé quelques mois (on n'y connaissait rien au départ). Ici, encore une fois, je laisse faire le logiciel[color=#000000] > G, GtoE := MordellWeilGroup(E) ; > G ; Abelian Group isomorphic to Z/2 + Z Defined on 2 generators Relations: 2*G.1 = 0 > GtoE(G.1) ; (0 : 0 : 1) > GtoE(G.2) ; (1 : -3 : 1) [/color]
Je termine par la 2-cousine de $E$, qui est $\overline E : y^2 = x^3 - 2x$, pareille que $y^2 = x^3 - 32x$, vu que $32, 2$ différent multiplicativement d'une puissance 4-ième (à savoir $2^4$). On a deux 2-isogénies, duales l'une de l'autre, entre $E$ et $\overline E$, ce qui signifie que la composée dans un sens ou dans l'autre, est la multiplication par 2 sur la courbe elliptique.[color=#000000] > phi := TwoIsogeny(p0) ; > Domain(phi) ; Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + 8*x over Rational Field > F := Codomain(phi) ; > F ; Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 32*x over Rational Field > Fmin := MinimalModel(F) ; > Fmin ; Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 2*x over Rational Field > CremonaReference(Fmin) ; 256b1 > > phi : Minimal ; Elliptic curve isogeny from: CrvEll: E to CrvEll: F taking (x : y : 1) to ((x^2 + 8) / x : (x^2*y - 8*y) / x^2 : 1) [/color]
Est ce que cela va t'aider ? Je n'en sais absolument rien. Je pense en tout cas que savoir tout cela sur la courbe de Ljunggren, alias 256b2, alias $y^2 = x(x^2 + 8)$ ne peut pas faire de mal. -
$\def\H{\mathbb H}$@LOU16
Encore quelques nouvelles de ta forêt amazonienne (tu vas finir par en avoir marre) ; ensuite, promis, juré, j'arrête (disons pendant un certain temps).
1) Dans mon post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1795204,1798068#msg-1798068 et le précédent, là où je fais débarquer courbes et revêtements (d'abord affines puis projectifs), il y a des choses que j'ai mal expliqué, voire pas du tout expliqué. Ici, j'en dis un tout petit peu plus car (tu vas trouver que j'insiste), cela vient de ta jungle (je reprends tes termes). Dans ta jungle, on y voit des lettres et des égalités. On y voit par exemple $s = 2uv - 1$ (c'est l'équation (3) qui est encadrée) et si on regarde bien, dans ta branche A)1), on voit $s = u^2 - r^2$. Et à un moment donné, dans cette branche (de la forêt, ah, ah), tu fais débarquer $p$ avec $v = p^2$ from $r^2 = 2v(u-v)$. Comme déjà dit, mais je le redis, j'ai fait débarquer $q$ vérifiant $u-v = 2q^2$ i.e. $u = p^2 + 2q^2$. Ce qui conduit à $r = 2pq$. Et du coup, on a DEUX expressions POLYNOMIALES de $s$ en $p,q$ :
$$
s = 2(p^2 + 2q^2)p^2 - 1 \quad \hbox {from} \quad s = 2uv - 1, \qquad\qquad\qquad
s = (p^2 + 2q^2)^2 - (2pq)^2 \quad \hbox {from} \quad s = u^2 - r^2
$$
Les deux polynômes en $p,q$ à droite de $s = \quad$ ne sont pas égaux. Mais c'est justement leur égalité qui définit une courbe !! En affine notée $C_{pq}$ un soir et le lendemain matin en projectif $C_3$. Tu noteras que la deuxième expression n'est autre que $s = p^4 + 4q^4$, plus agréable que la première. Avec en plus, des formules :
$$
s = p^4 + 4q^4, \qquad\quad r = 2pq
$$
qui vont donner naissance à un revêtement $(p,q) \mapsto (s,r)$ entre la courbe affine $C_{p,q}$ et une autre $C_{s,r}$ (où $C_{r,s}$, je ne sais plus). La plupart des gens (mais toi, je te mets à part) qui bricolent (ce n'est pas péjoratif) dans les équations diophantiennes ne veulent pas savoir sur quelle courbe ils sont. Ils veulent résoudre l'équation, point-barre. Mais une équation, c'est plus riche que l'ensemble de ses $\Q$-points. Je veux dire par exemple, qu'une fois cerné les points entiers de Ljuggren $y^2 = 2x^4 - 1$, on peut s'estimer content ; mais entre temps, il se passe des choses qui perdurent à vie (courbes, revêtements). A vie, car on peut remplacer le corps de base $\Q$ par un corps de nombres $K$, ce qui va changer la notion de point rationnel, mais pas les courbes ni les revêtements.
2) Je ne voudrais pas donner l'impression que je suis méprisant vis-à-vis des coniques. Car il y en a une dans ta jungle, c'est l'équation entre $u,v$. Que j'ai uniformisé avec une variable fraîche $w$ et noté $C_0$ because genre 0. Equipée d'un revêtement $(p,q) \to (u,v)$ de degré 4, disons, en projectif, $C_3 \ni (p : q : m) \to (u : v : w) \in C_0$ . Courbe et revêtement dont je n'ai pas parlé dans les posts précédents. Je répare.
Et la vraie vérité, c'est que $C_0 = C_3 / \langle a,b\rangle = C_3 / \langle b,c\rangle = C_3 / \langle a,c\rangle$ où $a,b,c$ sont les trois automorphismes involutifs de $C_3$ déjà mentionnés.
Autrement dit, dans mon post pointé, j'ai fait apparaître un certain nombre de courbes de genre 1 coiffées par $C_3$, courbe de genre 3. Et je n'ai pas voulu en rajouter en disant qu'elles mêmes coiffaient une conique $C_0$ (avec un point rationnel).
3) Et comment se fait-il que la courbe de Ljungrenn, alias $256b_2$, de conducteur $256 = 2^8$, et la courbe de Nawisman, alias $128a_1$, de conducteur $128 = 2^7$, soient toutes les deux coiffées par une même courbe $C_3$ ? Pour moi, il n'y a pas de miracle. La réponse est à chercher dans notre mère à tous : le demi-plan de Poincaré $\H$.
Sans aucun doute, $C_3$ est une courbe modulaire, peut-être celle notée $X_0^+(128)$ qui est de genre 3 et qui est quotient de $X_0(128)$ de genre 9. Pour l'instant, je n'en sais rien et je ne peux pas en dire plus. Il faut juste savoir qu'il y a des courbes modulaires $X_0(128)$, $X_0(256)$ ainsi que des revêtements sur les courbes elliptiques :
$$
X_0(128) \to 128a_i, \quad i = 1,2, \qquad\qquad\qquad
X_0(256) \to 256b_i, \quad i = 1,2
$$
On touche ici à des objets liés à l'ex-conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, résolue par Wiles, Breuil, Conrad, Diamond, Taylor. Note : dans les chaumières, on résume la situation en disant que Wiles a résolu le grand théorème de Fermat, ce qui est évidemment totalement réducteur.
Tu te doutes que j'ai envie d'en savoir plus sur $X_0^+(128)$ ? Est ce que c'est elle $C_3$ ? On va devoir continuer à fouiller dans une méga-forêt amazonienne, que je ne sais même pas où elle est située sur terre. -
Bonjour Claude,
J'ai lu tes posts avec intérêt qui m'ont donné quelques objectifs et je t'en remercie.
Le but de mon dernier message était en fait de comprendre (et je comptais un peu sur toi pour me l'expliquer mais ce n'est bien entendu pas une injonction) ,sous l'angle des courbes elliptiques, la structure d'arbre binaire des solutions de $2x^4-y^4 = z^2$ que j' ai indiquée.
J' ai rajouté à mon message les formules qui permettent d'obtenir les "(x,y)" de toutes les solutions. -
@LOU16
Voilà ce que j'ai fait : j'ai repris mon isomorphisme de ce matin $h : E \to L$ où $E : y^2 = x(x^2+8)$ et $L : Y^2 = 2X^4 - 1$, ainsi que le point $p_1 = (x=1,y=3)_E$. Note l'ordre de mes variables $X,Y$ pour L (Ljuggren) ce qui fait que je l'homogénéise en $Y^2 = 2X^4 - Z^4$, petite différence (sans importance) entre toi et moi. Pour plus de sûreté :[color=#000000] > E ; Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + 8*x over Rational Field > L ; Hyperelliptic Curve defined by y^2 = 2*x^4 - 1 over Rational Field > p1 ; (1 : 3 : 1) > p1 in E ; true (1 : 3 : 1) [/color]
Ensuite (en ayant bricolé 5 minutes), j'ai considéré pour $m \in \N$, le point $h(-mp_1) = [x_m, y_m, z_m]$ de la courbe de Ljuggren et j'ai retenu les extrémités en valeur absolue i.e. $(x,z) = (|x_m|, |z_m|)$, qui sont telles que $2x^4 - z^4$ est un carré (le carré de $y_m$). D'où la petite fonction.[color=#000000] > N := {! m in IntegerRing() | m ge 0 !} ; > N2 := PowerSequence(N) ; > H := map < IntegerRing() -> N2 | m :-> [Abs(x),Abs(z)] where x is xyz[1] where z is xyz[3] where xyz is h(-m*p1) > ; [/color]C'est parti mon kiki. Au début, en $m=0,1$, cela patine un peu mais ensuite, on a l'impression d'obtenir les couples qui sont sur le noeud de ton arbre, du moins au début car je n'ai qu'une toute petite partie de ton arbre. Certes, tu m'as donné des formules mais j'ai eu la flemme de ...[color=#000000] > H(0) ; [ 1, 1 ] > > H(1) ; [ 1, 1 ] > H(2) ; [ 13, 1 ] > H(3) ; [ 1525, 1343 ] > H(4) ; [ 2165017, 2372159 ] > H(5) ; [ 42422452969, 9788425919 ] > H(6) ; [ 7658246457672229, 5705771236038721 ] > H(7) ; [ 15512114571284835412957, 17999572487701067948161 ] [/color]
Question 1 : est ce que $H(5), H(6), H(7)$ sont dans ton arbre ? tiens, jungle, forêt, arbre...
Note : au début, cela patine pour des histoires de signes[color=#000000] > h(0*p1) ; (1 : 1 : 1) > h(-p1) ; (-1 : 1 : 1) [/color]
Bref, cela pourrait donner l'impression que ton arbre est la manifestation de la multiplication du free generator $p_1$ par un entier négatif. Note : un free generator d'un groupe abélien du type $G = T \oplus \Z$ où $T$ est de torsion, c'est un habitant de $G$ générateur de $G/T$. Quand tu en tiens un, disons $p_1$, les autres sont les $t \pm p_1$ avec $t \in T$. Ici pour éviter $m$ versus $-m$, j'aurais pu remplacer le free generator $p_1 = (1,3)_E$, par son opposé mais j'ai préféré ne pas changer grand chose par rapport à ce matin.
Question 2 : peut-être que je suis entrain d'enfoncer des portes ouvertes et que ça, tu le sais et que même tu trouves cela évident ? N'hésite pas à le dire (on mettra cela sur le compte de mon grand âge). -
@Claude Quitté
$H(5)$ et $H(6)$ sont les deux antécédents de $H(3)$ par $\Phi$ et sont par conséquent dans l'arbre, et j'imagine que $H(7)$ est l'un des antécédents de $H(4)$.
Pour ce qui est des "portes ouvertes" , vu que l'on est dans un domaine où je ne connais pas grand-chose, tu peux y aller tranquille.
J'ai deux questions.
As-tu remarqué des choses intéressantes sur les entiers $m$ tels que $2x_m^4-z_m^4$ est le carré d'un entier?
Aurais-tu un argument pour décréter que les $z_m$ perdent très vite la possibilité d'être égaux à $1$? -
$\def\P{\mathbb P}$@LOU16
1) Je ne comprends pas ta première question car par définition $2x_m^4 - z_m^4$ est un carré pour tout entier $m$ : c'est le carré de $y_m$ vu que $h(-mp_1) = (x_m : y_m : z_m)$ tombe dans la courbe $L$ de Ljunggren, chez moi $L : y^2 = 2x^4 - z^4$.
2) Je ne crois pas à un argument pour cette histoire de $z_m$ pas égal à $1$ pour $m$ assez grand car cela voudrait dire que l'on serait susceptible de résoudre en nombres entiers $y^2 = 2x^4 - 1$ pour pas (trop) cher (à condition de contrôler le assez grand). Ce que je dis est un peu vague. Et du coup, tant qu'à faire vague : ce n'est pas parce que on a cerné $E(\Q)$ où $E : y^2 = x^3 + 8x$ est $\Q$-isomorphe à $L$, qu'on cerne $L_{\rm affine}(\Z)$.
3) J'ai mis au point des outils pour étudier ton arbre. Cela prendra du temps. En te restreignant à la ``partie positive'' de $L$, tu as neutralisé les involutions $\alpha, \beta$ de $L$
$$
\alpha : (x : y : z) \mapsto (-x : y : z), \qquad\qquad \beta : (x : y : z) \mapsto (x : -y : z)
$$
Faire attention que $\gamma$, qui ne figure pas, n'est pas ce que l'on pourrait (?) croire. Car dans $\P^2(1,2,1)$
$$
\lambda \cdot (x : y : z) = (\lambda x : \lambda^2 y : \lambda z) \qquad \hbox {en faisant $\lambda = -1$}\qquad
(x : y : z) = (- x : y : -z)
$$
Et donc $(x : y : -z) = (-x : y : z)$. Le bon $\gamma$, le troisième, c'est $\gamma = \alpha \circ \beta = \beta \circ \alpha$.
4) J'ai localisé du côté de $E$, via mon isomorphisme $h : E \to L$, les involutions $\alpha, \beta$[color=#000000] // p -> -p-p1 du côté de E <--> alpha du côté de L p := RandE() ; assert h(-p-p1) eq alpha(h(p)) ; // p -> -p+p2 du côté de E <--> beta du côté de L assert h(-p+p2) eq beta(h(p)) ; [/color]
avec[color=#000000] p0 := E![0,0] ; p1 := E![1,3] ; p2 := E![8,24] ; assert p2 eq p0 - p1 ; L11 := L![1,1] ; assert h(E!0) eq L11 and h(p0) eq gamma(L11) and h(p2) eq beta(L11) and h(p1) eq gamma(L![13,239]) ; [/color]
5) La courbe $E : y^2 = x^3 + 8x$ est à multiplication complexe par $\Z[i \rbrack$ : $[i\rbrack$ c'est $(x,y) \mapsto (-x,iy)$ from $(iy)^2 = (-x)^3 + 8(-x)$. Cela ne peut pas faire de mal.
6) Tout est prêt pour étude (bis) mais je dois réfléchir et me poser. -
Bonjour Claude,
En effet, le caractère étrange de ma question est dû à une lecture trop rapide où, en passant à côté d'une virgule de ton texte, j'ai fait un contresens. J'ai lu: "j'ai retenu les extrémités des $(x_m,z_m)$ qui sont telles que $2x_m^4 - z_m^4$ est le carré....", et d'ailleurs je ne comprenais pas trop.
Je me suis fixé comme objectif de cerner dans le détail certains points de tes différents messages, mais cela va me prendre un peu de temps.http://www.les-mathematiques.net/phorum/list.php?5 -
$\def\P{\mathbb P}$@LOU16
Voilà où j'en suis. J'ai algébrisé, pour $\varepsilon = 1$, tes égalités $x_\varepsilon = \cdots$ et $y_\varepsilon = \cdots$, en supprimant la division par le pgcd des valeurs absolues (valeur absolue et pgcd, ce n'est pas polynomial). Et j'ai dû travailler pour en faire un revêtement $F_+ : L \to L$ (de degré 4) où $L : Y^2 = 2X^4 - Z^4$ :
$$
F_+ : (X : Y : Z) \mapsto (X_1 : Y_1 : Z_1) \qquad
X_1 = X^2 (XZ + Y)^2 + Z^2(X^2 - Z^2)^2, \quad Z_1 = Z^2 (XZ + Y)^2 - 2X^2(X^2 - Z^2)^2, \quad
Y_1 = \cdots
$$
Nos notations ne sont pas les mêmes mais tu dois reconnaître en $X_1$ le numérateur de ton $x_\varepsilon$ ; idem pour $Z_1$ et ton $y_\varepsilon$. Je ne donne pas $Y_1$, qui est un polynôme homogène de degré 12 en $(X,Z), Y$ et qui n'est pas jojo. J'en possède plusieurs expressions because $(X,Y,Z)$ sont sur la courbe $Y^2 = 2X^4 - Z^4$. Cela signifie que $Y_1^2 = 2X_1^4 - Z_1^4$ QUAND $Y^2 = 2X^4 - Z^4$.
Précision: $X_1, Z_1$ sont homogènes en $(X,Z)$ de degré 6 ; $\P^2(1,2,1)$ oblige, $Y_1$ est de degré 12 et peut-être rigidifié sous la forme $Y_1 = P_{12}(X,Z) + P_{10}(X,Z)Y$ où l'indice indique le degré.
Toi, tu possèdes peut-être une expression de ton $\sqrt {2x_\varepsilon^4 - y_\varepsilon^4}$ ? Quand je dis que j'ai dû travailler, c'est pour obtenir $Y_1$ (je dispose d'outils pour cela).
J'ai défini de même $F_- : L \to L$ en remplaçant $Y$ par $-Y$ i.e. $F_- = F_+ \circ \beta$ où $\beta$ est l'involution de $L$ qui réalise $Y \leftrightarrow -Y$.
Il est entendu qu'à l'arrivée je ne mets surtout pas de valeur absolue, cela n'a pas de sens en ce qui concerne les morphismes algébriques. Donc grosso-modo, $F_+$ et $F_-$ sont tes antécédents. Gross-modo signifiant ``à des signes près'' car toi tu restes sur la partie positive de $L$, ce qui n'est pas (pour moi) assez algébrique (pour l'instant).
Un résultat positif : c'est que $F_+$ est sur $L$, via mon isomorphisme $h : E \to L$, où $E : y^2 = x^3 + 8x$, la manifestation de la multiplication par 2 sur $E$ (la multiplication par $n$ sur une courbe elliptique, c'est un morphisme de degré $n^2$)[color=#000000] /* h E ------------> L | | mult. par 2 | | F_+ v v E ------------> L h */ [/color]
Question I : comment as tu trouvé $x_\varepsilon$, $y_\varepsilon$ ?
Question II : sur $E$, il y a l'involution facile $p \mapsto -p$ (opposé sur la courbe elliptique) et je n'ai pas trouvé le pendant sur $L$. Autrement dit, sur $L : Y^2 = 2X^4 - Z^4$ , il y a une certaine involution, autre que les involutions évidentes $\alpha, \beta, \gamma = \alpha \circ \beta$ qui jouent sur $\pm X, \pm Y, \pm Z$. As tu une idée, toi qui as mis la main sur $x_\varepsilon, y_\varepsilon$ ? -
Bonjour Claude,
J'obtiens $(x_{\varepsilon}, y_{\varepsilon})$ en cherchant les $(x,y)$ dans $\mathcal E$ tels que $\Phi(x,y) =(u,v) \quad ((u,v) \in \mathcal E\setminus\{(1,1)\})$
Comme indiqué dans un message précédent,$\Phi$ est une application qui transforme un $(x,y)$ tel que $2x^4-y^4 = z^2$ en un $(u,v)$ tel que $2u^4 -v^4= w^2$ avec $1\leqslant u< x$.
Voici donc les balises qui m'ont permis de définir $(u,v) := \Phi (x,y)$ avec $2x^4 - y^4 = z^2, \quad (x,y) \in \N^{2},\quad x\wedge y = 1,\:\:\: (x,y) \neq (1,1)$.
Les arguments (que je ne détaille pas) nécessaires pour justifier les affirmations suivantes sont très élémentaires ($ ab=c^2,\quad a\wedge b =1 \implies a $ et $b$ sont des carrés),
$\bullet\:\:$ Je choisis le signe de $z$ de manière à ce que $z\equiv 1 \mod 4$.
$\bullet \:\:2x^4-y^4 = z^2 \implies \quad \exists ! p,q \in \Z$ tels que $ p+q>0, \quad x^2=p^2+q^2\quad(1),\quad y^2 =(p+q)^2 -2q^2\quad(2),\:\:\:\: z =(p-q)^2 -2q^2.\:\:$
$\bullet\:\: (2) \implies\quad \exists ! \varepsilon = \pm1,\:\: \exists ! r,s \in \Z$ tels que $s>0,\quad \varepsilon y = r^2-2s^2, \quad p =r^2+2s^2 -2rs, \quad q = 2rs\:\:$.
$\bullet\:\:(1)\implies \quad \exists ! a,b \in \Z$ tels que $ a>0,\quad p=a^2-b^2,\quad q= 2ab, \quad x =a^2+b^2\:\:$.
On définit alors $c=a\wedge r,\quad d= b \wedge s \:\:$ avec$ \:c>0,\:d>0,\:$ puis enfin $\boxed{u =\dfrac ac = \dfrac sd, \quad v =\dfrac bd =\dfrac rc}$
On parvient à $(v^2-u^2) c^2-2uvcd + (2u^2+v^2)d^2 =0$ dont on déduit que $2u ^4 -v^4$ est le carré d'un entier avec $x= c^2u^2 +b^2>u$
En remontant le courant à partir de $(u,v)$ , j'ai atteint les deux antécédents $(x_{\varepsilon}, y_{\varepsilon})$ de $(u,v)$ dont j'ai précédemment donné une expression, et où $z_{\varepsilon}=(a_{\varepsilon}^2-b_{\varepsilon}^2-2a_{\varepsilon}b_{\varepsilon})^2-8a_{\varepsilon}^2b_{\varepsilon}^2$ avec $a_{\varepsilon} =\dfrac{uv +\varepsilon w}{\delta_{\varepsilon}}u,\quad b_{\varepsilon}= \dfrac {v^2-u^2}{\delta_{\varepsilon}}v$
Pour l'instant, j'ai été incapable de déceler dans ce bazar l'involution que tu recherches. -
@LOU16
0) Je suis en train d'analyser ton dernier post. A la ligne 2 (en partant du haut), il est question de $2x^4 - y^4 = z^2$ mais deux lignes plus loin, de $2x^4 - 2y^2 = z^4$. Je suppose que cette dernière égalité est une coquille ?
1) Il y a quelque chose qui me chiffonne. Cette fois, je suis de près tes notations. J'attribue à $u,v$ le poids 1 et $w$ le poids 2 from $2u^4 - v^4 = w^2$. En ``négligeant '' $\delta_\varepsilon$ (ce que l'on peut trouver douteux), je tombe sur le fait que $a_\varepsilon, b_\varepsilon$ sont de poids 2, $x_\varepsilon, y_\varepsilon$ de poids 6 et enfin $z_\varepsilon$ de poids 8. C'est le poids de $z_\varepsilon$ qui me chiffonne.
2) Oublions le point précédent que l'on peut juger ollé-ollé. Ci-dessous, je te suis de très près, sauf peut-être en ce qui concerne $u^2 - v^2$ versus $v^2 - u^2$ dans la définition de $x,y$ (correspondant à ton $x_\varepsilon, y_\varepsilon$ pour $\varepsilon = 1$). Mais je juge que ce n'est pas ``trop grave'' car $u^2 - v^2$ y intervient (dans $x_\varepsilon, y_\varepsilon$) au carré[color=#000000] > u := 13 ; v := 1 ; w := 239 ; assert 2*u^4 - v^4 eq w^2 ; > A := u*v + w ; B := v^2 - u^2 ; > delta := Gcd(A,B) ; > a := ExactQuotient(A, delta) ; b := ExactQuotient(B, delta) ; > x := u^2*a^2 + v^2*b^2 ; y := v^2*a^2 - 2*u^2*b^2 ; > ok, z := IsSquare(2*x^4 - y^4) ; assert ok ; > x, y, z ; 1525 -1343 2750257 > 2*x^4 - y^4 eq z^2 ; true > zLou16 := (a^2 - b^2 - 2*a*b)^2 - 8*a^2*b^2 ; > zLou16 ; 1 [/color]
Peux tu prendre le temps pour me dire où je ne te suis pas ? (alors que je prétends le contraire). Merci.
3) J'ai trouvé l'involution que je cherchais sur $L$, mais plus tard (chaque chose en son temps). -
$\def\P{\mathbb P}$@LOU16
Ouf, je respire. Tout colle. Et mon histoire de poids n'était pas ollé-ollé : $a_\varepsilon, b_\varepsilon$ sont de poids 3, $x_\varepsilon, y_\varepsilon$ de poids 6 et $z_\varepsilon$ de poids 12 (double de 6). En un certain sens, $\P^2(1,2,1)$ m'empêche de m'écarter du bon chemin, en tout cas m'interdit d'aller dans les mauvais.
Autre chose. Voici (sans explication) l'involution sur $L : Y^2 = 2X^4 - Z^4$ (sorry, je reprends mes notations)
$$
X' = 6Y - 7XZ, \qquad Y' = 24XZ(3X - 2Z)(3X + 2Z) - 7(8X^2 + 9Z^2)Y, \qquad
Z' = 8(X-Z)(X+Z) - Z^2
$$
C'est-à-dire que $Y'^2 = 2X'^ 4 - Z'^4$ QUAND $Y^2 = 2X^4 - Z^4$ et $(X : Y : Z) \mapsto (X' : Y' : Z')$ définit une involution de $L$. Note que $X', Z'$ sont de poids 2, et $Y'$ de poids 4, étant entendu que $X,Z$ sont de poids 1, $Y$ de poids 2. -
@Claude Quitté
Je n'y comprends rien, mais c'est beau: en n'étant pas trop regardant sur les signes, ton involution semble permuter $(1,1,1)$ et $(13, 239,1)$ d'une part, et les deux antécédents par $\Phi$ d'un même élément de $\mathcal E$ d'autre part, et sa lecture dans "l'arbre des solutions" est ainsi merveilleusement simple. -
$\def\P{\mathbb P}$@LOU16
$\bullet$ Du coup, je redonne le revêtement (de degré 4) $F_+ : L \to L$, qui correspond à ton $(u,v,w) \mapsto (x_\varepsilon, y_\varepsilon, z_\varepsilon)$ pour $\varepsilon = 1$, en utilisant TA formule pour $z_\varepsilon$ MAIS en utilisant MES notations. Mes noms de variables, qui sont des polynômes en $X_{\rm poids=1}, Y_{\rm poids=2}, Z_{\rm poids=1}$, indiquent les poids :
$$
F_+ : (X : Y : Z) \longmapsto (X_6 : Y_{12} : Z_6)
$$[color=#000000] a2 := X*Z + Y ; b2 := Z^2 - X^2 ; a3 := X*a2 ; b3 := Z*b2 ; X6 := a3^2 + b3^2 ; Z6 := (Z*a2)^2 - 2*(X*b2)^2 ; Y12 := (a3^2 - b3^2 - 2*a3*b3)^2 - 2*(2*a3*b3)^2 ; Fplus := map < L -> L | [X6, Y12, Z6] > ; [/color]
$\bullet$ Rappel : sur $L$, plusieurs involutions :
$$
\alpha : (x : y : z) \mapsto (-x : y : z), \qquad \beta : (x : y : z) \mapsto (x : -y : z), \qquad \gamma = \alpha\circ\beta : (x:y:z) \mapsto (-x:-y:z), \qquad
\delta = \left\{ \begin {array} {c} \text{strange} \\ \text{formula} \end {array}\right.
$$
$\bullet$ Autre rappel : $E(\Q) = \langle p_0 \rangle \oplus \langle p_1\rangle = \Z/2\Z \oplus \Z$. Voici un petit dictionnaire, réalisé par l'isomorphisme $h : E \to L$ que j'ai choisi.
$$
\begin {array} {r|l}
E : y^2 = x(x^2 + 8) & L : Y^2 = 2X^4 - Z^4 \\
\hline
\text{neutre}\ p_\infty & (1 : 1 : 1) \\
p_0 = (0,0)_E & (-1 : -1 : 1) \\
p_1 = (1,3)_E & (13, 239, 1) \\
p_2 = p_0 - p_1 = (8,24)_E & (1 : -1 : 1) \\
p \mapsto 2p & F_+ \\
p \mapsto -p & \delta \\
p \mapsto p + p_0 & \gamma \\
p \mapsto -p - p_1 & \alpha \\
p \mapsto -p + p_2& \beta \\
\end {array}
$$
$\bullet$ Commentaire. L'involution $\delta$ n'est pas si étrange car elle a été définie pour qu'elle corresponde à $p \mapsto -p$ i.e.
$$
(\delta \circ h)(p) = h(-p)
$$
Et comme $h$ transforme le neutre de $E$ en $(1 : 1 : 1)$, $\delta$ fixe ce dernier point. Si tu fais le calcul, tu trouves $X' = -1$, $Y' = 1$, $Z'=-1$ ; mais sur $L$, on a $(x : y : z) = (-x : y : -z)$ because $\P^2(1,2,1)$-calculus. Et donc $(X' : Y' : Z') = (1 : 1 : 1)$.
$\bullet$ Je rappelle que j'ai défini $h$ sans ASSEZ réfléchir. Des isomorphismes entre $E$ et $L$, il y en a plein d'autres. Il faudrait que je réfléchisse (que je dis) à ce que l'on peut attendre d'un bon isomorphisme par rapport à la structure de $L$, l'arbre ...etc... Est ce important ? Je ne sais pas. Et de toutes manières, je ne suis pas certain d'être capable d'avoir le courage de tout jeter à la poubelle et recommencer avec un nouveau $h$ qui serait plus mieux.
$\bullet$ Je n'ai pas encore assez réfléchi à la lecture sur $E$ de l'arbre (qui est à droite). Car il n'est pas monté tout-à-fait sur $L(\Q)$ mais sur un quotient de $L(\Q)$. Cet arbre est quand même ``un truc de dingue''. -
$\def\P{\mathbb P}$@LOU16
Je reviens sur ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1795204,1797954#msg-1797954, précisément sur les deux dernières lignes. Je suppose qu'il y a une coquille dans la fin de la phrase ``... reliées à celles de $x^4 - 2y^4 = y^2$'' : tu as voulu dire $x^4 - 2y^4 = z^2$ sans aucun doute.
Sorry, mais je vais prendre mes notations. Dans ces deux dernières lignes du post mentionné, il est donc question de deux courbes hyperelliptiques de genre 1, que je fournis ci-dessous sous forme affine, puis sous forme projective dans $\P^2(1,2,1)_{(X:Y:Z)}$
$$
L : Y^2 = 2X^4 - 1, \quad Y^2 = 2X^4 - Z^4
\qquad \qquad \qquad
C : Y^2 = X^4 - 2,\quad Y^2 = X^4 - 2Z^4
$$
En ce qui concerne $C$, comme le coefficient devant $X^4$ est un carré, il y a le point ``à l'infini'' (relativement à $Z$) $p = (1 : 1 : 0)_C$ $\Q$-rationnel, qui permet (Nagell) d'en faire une courbe elliptique. Là, c'est facile de le faire à la main même dans le cas général $y^2 = x^4 + \bullet x^2 + \bullet$. Et ici, on va retrouver notre chère $E : y^2 = x(x^2 + 8)$, Cremona-reference $256b_2$.[color=#000000] > C<X,Y,Z> := HyperellipticCurve(T^4 - 2) ; > C ; Hyperelliptic Curve defined by y^2 = x^4 - 2 over Rational Field > p := C![1,1,0] ; > E<x,y,z>, CtoE := EllipticCurve(C,p) ; > E ; Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + 8*x over Rational Field > CtoE : Minimal ; (X : Y : Z) -> (2*X^2*Z + 2*Y*Z : 4*X^3 + 4*X*Y : Z^3) > Inverse(CtoE) : Minimal ; (x : y : z) -> (y*z : 2*x^3*z - y^2*z^2 : 2*x*z) > CremonaReference(E) ; 256b2 [/color]
Bien sûr, sur $C$, il y a d'autres points rationnels puisque c'est en fait, une courbe elliptique de rang 1 sur $\Q$[color=#000000] > Points(C : Bound := 10^3) ; {@ (1 : -1 : 0), (1 : 1 : 0), (-3 : -7 : 2), (-3 : 7 : 2), (3 : -7 : 2), (3 : 7 : 2), (-113 : -7967 : 84), (-113 : 7967 : 84), (113 : -7967 : 84), (113 : 7967 : 84) @} [/color]Résumons : $L, C, E$ sont des courbes $\Q$-isomorphes. Ceci pourrait expliquer ton ``solutions structurées de manière analogue'' dans les deux dernières lignes de ton post pointé. -
Coucou Claude,
J'en ai un peu ch.er pour écrire (sans grande conviction) :
$$
2-2 \times \boxed{9} = 2 \times 192-127-1-7-1-31-1-7-1-192/2-2 \times 192/3
$$
Ps / Je parle de $X_0(128)$, enfin de son genre ! -
@moduloP
Je suis pas fier car je t'ai laissé tomber le mois dernier comme une vieille chaussette en ce qui concerne les cusps de $\Gamma(N)$, $\Gamma_0(N)$ ...etc... Je me suis mis en mode R. à ce moment là, promis juré. Et j'y suis encore. Sauf que j'ai vu passer une ou deux courbes elliptiques de rang 1 et j'ai craqué. Cela devait durer quelques minutes et puis ... les choses de la vie. J'ai bien vu que tu faisais mumuse avec les groupoïdes ....etc.. mais on peut pas tout faire.[color=#000000] > GenusX0N(128) ; 9 > Genus(Gamma0(128)) ; 9 > DimensionCuspFormsGamma0(128, 2) ; 9 [/color]
Mais ce qui m'intéresse, c'est le quotient de $X_0(N)$ par l'involution de Fricke $W_N : \tau \mapsto -1/(N\tau)$, involution qui normalise $\Gamma_0(N)$ :
$$
X_0^+(N) = X_0(N) / W_N
$$
Je peux pas en dire plus. Son genre est donné pour $N \ne 1, 2, 4$ par
$$
g(X_0^+(N)) = {g(X_0(N)) + 1 - f_N/2 \over 2} \qquad \qquad
f_N = \cases {h(A_{-4N}) &si $-N \not\equiv 1 \bmod 4$ \cr h(A_{-4N} + h(A_{-N}) &si $-N \equiv 1 \bmod 4$ }
$$
Ici $A_D$ est l'anneau quadratique de discriminant $D$ et $h$ désigne l'ordre du groupe des classes d'idéaux inversibles de cet anneau. Cette formule n'est pas si compliquée à établir (il faut examiner les points fixes de $W_N$ et faire attentions aux cusps, arg). Mais c'est déjà tout fait dans magma (le 128 entre crochets, c'est pour indiquer les involutions de Fricke par lesquelles il faut quotienter, ici une seule)[color=#000000] > GenusX0NQuotient(128, [128]) ; 3 [/color]
Sais tu si Sage est capable de nous fournir une équation de $X_0^+(128)$ ?
En tout cas, une courbe de genre 3 (en $p,q,m)$ a débarqué ici sans être invitée. Elle est donnée par $F = 0$ où $F$ est un polynôme en 3 variables, homogène de degré $d = 4$. Je donne $F$ ici en $x,y,z$ pour poser une question (en mauvais anglais) à Elkies. Le $F$ ci-dessous possède une propriété remarquable en ce qui concerne son discriminant (puissance de 2). Et c'est pour cela que je soupçonne ... mais je n'en sais rien.[color=#000000] Dear Noam Elkies, I have a question if you have some times. The modular curve X_0^+(128) is a curve of genus 3. Do you know reference to obtain an equation of this modular curve? I suspect that F = 0 is an equation of this curve where F is ====================================== > F := 2*x^4 - z^4 - (x^2 - 2*y^2)^2 ; > F ; x^4 + 4*x^2*y^2 - 4*y^4 - z^4 > Fx := Derivative(F, x) ; Fy := Derivative(F, y) ; Fz := Derivative(F, z) ; > R := ResultantByMacaulay([Fx, Fy, Fz]) ; > R ; 302231454903657293676544 > R eq 2^78 ; true ====================================== You see that the resultant of (F'_x, F'_y, F'_z) is a power of 2. And so is the discriminant of F (modulo a sign) obtained from R Disc(F) = -------- -2^7 This -2^7 is -d^(d^2 - 3d + 3) where d = 4 is the degree of F ====================================== > d := 4 ; > d^2 - 3*d + 3 ; 7 ====================================== Thanks for your answer. Best regards [/color]
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 771 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 13
+8 Invités