Une équation

moduloP · April 2019

Hello Claude,

Je ne pense pas que sage est capable de fournir une équation (je vais quand même regarder la documentation) !

Hum question à la con : Est-ce que ta question reviens à chercher une relation polynômiale entre $j$ et une fonction construite avec des $\Delta$ ?

claude quitté · April 2019

@moduloP

0) Je ne sais pas répondre à ta question. En tout cas, c'est un peu plus compliqué que ce que tu dis car on voudrait un modèle lisse. Je pourrais te donner un exemple avec $X_0(64)$, exemple que l'on trouve dans les livres. Mais cela risquerait de faire un hors-sujet et provoquer le courroux de Namiswan (auteur du fil).

En fait, on s'en fiche un peu de $X_0^+(128)$. Et de toutes façons, ce n'est pas elle qui s'est invitée, cf ci-dessous. Je t'explique en deux mots. Le Roi de la jungle a réussi (tour de force) à se faire rencontrer, dans une forêt amazonienne, Namiswan $y^2 = (x+1)(x^2+1)$, alias $128a_1$ et Ljunggren $y^2 = 2x^4 -1$, pareille que $y^2 = x(x^2+8)$, alias $256b_2$. Mais moi, je crois pas trop à ce type de rencontre par hasard (on n'est pas dans un conte de fées ici). Et on a réussi à coiffer ces 2 courbes (de genre 1) par une même courbe de genre 3. Et je voulais savoir le pourquoi du comment i.e. remonter au demi-plan de Poincaré.

1) La voici $X_0^+(128)$ si j'en crois mon logiciel.

[color=#000000]
> time C<x,y,z> := ModularCurveQuotient(128, [128]) ;
Time: 0.550
> C ;
Curve over Rational Field defined by  -x^2*y^2 + x^3*z - x^2*y*z + 3*x*y^2*z - y^3*z - x^2*z^2 + x*z^3 - y*z^3
> time Points(C : Bound := 10^3) ;
{@ (1 : 1 : 1), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1), (1 : 0 : 0) @}
Time: 0.480
[/color]

Ceci nous laisse croire qu'elle n'a que 4 points $\Q$-rationnels, alors que $C_3$ en a 6 (cf plus loin). J'ai de plus examiné la réduction modulo divers premiers $p$ mais je zappe.

2) Notre courbe $C_3$ qui favorise la rencontre entre Ljunggren et Namiswan

[color=#000000]
> C3 ;
Curve over Rational Field defined by  p^4 + 4*p^2*q^2 - 4*q^4 - m^4
> time Points(C3 : Bound := 10^3) ;
{@ (1 : 1 : 1), (-1 : 0 : 1), (-1 : 1 : 1), (1 : 0 : 1), (1 : -1 : 1), (-1 : -1 : 1) @}
Time: 0.430
[/color]

Evidemment, si on arrivait à montrer que $C_3(\Q)$ est réduit à ces 6 points, cela permettrait de nouveau de répondre à Namiswan (et sans aucun doute, grosse récompense de sa part). Et de revenir bien dans le sujet, évitant ainsi le déplacement dans Stham. Pourquoi que cela permettrait de répondre ...etc.. ? Car figure toi que le Roi de la jungle à réussi à remonter les points entiers de $y^2 = (x+1)(x^2 + 1)$ en des points entiers de $C_3$, autre tour de force.

3) Le Roi de la jungle, c'est LOU16. Tu lui donnes une équation diophantienne à résoudre et tu reviens le lendemain. En une nuit, il est capable de construire une dizaine de nouvelles courbes, d'élaborer une demi-douzaine de revêtements entre ces courbes ...etc..

4) Si tu as une idée en ce qui concerne les points rationnels de $C_3$, tu seras le bienvenu (Faltings dit qu'ils sont entre nombre fini). Pour le magot, on pourra partager, no problem : $9/10$ pour LOU16, $1/20$ pour toi, $1/20$ pour mézigue, cela me semble honnête.

moduloP · April 2019

Claude,

Bien sûr que je n'ai aucune idée pour les points rationnels, j'ai juste regardé un ou deux revêtements de ton post ici histoire de faire mumuse avec les points fixes :-D

claude quitté · April 2019

$\def\P{\mathbb P}$@moduloP
Elkies m'a répondu (en magma !) de manière vachement précise sur la manière d'obtenir une équation de $X_0^+(128)$. Tu peux le faire en Sage à mon avis. Et il a ajouté que $C_3$ n'était pas banale, pas un quotient de $X_0(128)$ et probablement un quotient de $X_0(256)$.

Je résume sa réponse. Une base de $S_2(\Gamma_0(128))$ de dimension 9

[color=#000000]
> S := CuspForms(128, 2) ;
> S ;
Space of modular forms on Gamma_0(128) of weight 2 and dimension 9 over Integer Ring.
> Basis(S) ;
[
    q + O(q^12),
    q^2 + O(q^12),
    q^3 - q^11 + O(q^12),
    q^4 + O(q^12),
    q^5 + O(q^12),
    q^7 + O(q^12),
    q^9 + O(q^12),
    q^10 + O(q^12),
    O(q^12)
]
[/color]

L'involution $W_{128}$ ou du moins ce qu'elle induit sur $S_2(\Gamma_0(128))$ : une matrice $9 \times 9$ de carré 1 :

[color=#000000]
> W128 := AtkinLehnerOperator(S, 128) ;
> W128 ;
[ -3/8  -1/4  -3/4  -1/2  -3/4  -3/2  -3/8  -1/2  -3/4]
[ -1/4  -1/2     0     0  -1/2     0   3/4     1   3/2]
[ -1/4     0  -1/2     0   1/2     1  -1/4     0   1/2]
[ -1/4     0     0     0   1/2     0   3/4     0  -3/2]
[-3/16  -1/8   3/8   1/4  -3/8   3/4 -3/16  -1/4  -3/8]
[ -1/8     0   1/4     0   1/4  -1/2  -1/8     0   1/4]
[ -1/8   1/4  -1/4   1/2  -1/4  -1/2  -1/8   1/2  -1/4]
[ -1/8   1/4     0     0  -1/4     0   3/8  -1/2   3/4]
[-1/16   1/8   1/8  -1/4  -1/8   1/4 -1/16   1/4  -1/8]
> W128^2 ;
[1 0 0 0 0 0 0 0 0]
[0 1 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 1 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 1 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 1 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 1 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 1 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 1 0]
[0 0 0 0 0 0 0 0 1]
[/color]

On détermine une base du noyau de $I_9 - W_{128}$ :

[color=#000000]
> K := Kernel(1 - W128) ;
> K ;
Vector space of degree 9, dimension 3 over Rational Field
Echelonized basis:
( 1  0  0 -4 -2  0 -3  0  6)
( 0  1  0 -2 -2  0  0  2  6)
( 0  0  1 -2  0  2 -2  0  4)
> e1, e2, e3 := Explode(Basis(K)) ;
[/color]

Ce sont des composantes qu'il faut utiliser en revenant à $S_2(\Gamma_0(128))$. Mais je vais augmenter la précision vu la base là-haut.

[color=#000000]
> b := Basis(S, 100) ;
> PSR<q> := Universe(b) ;
> PSR ;
Power series ring in q over Integer Ring
> 
> x1 := &+[e1[j]*b[j] : j in [1..9]] ;
> x2 := &+[e2[j]*b[j] : j in [1..9]] ;
> x3 := &+[e3[j]*b[j] : j in [1..9]] ;
> 
> x1 + O(q^30) ;
q - 4*q^4 - 2*q^5 - 3*q^9 + 6*q^13 + 2*q^17 + 8*q^20 - q^25 - 10*q^29 + O(q^30)
> x2 + O(q^30) ;
q^2 - 2*q^4 - 2*q^5 + 2*q^10 + 6*q^13 - 3*q^18 + 4*q^20 - 6*q^26 - 10*q^29 + O(q^30)
> x3 + O(q^30) ;
q^3 - 2*q^4 + 2*q^7 - 2*q^9 - q^11 + 4*q^13 - 2*q^15 + 2*q^17 + q^19 + 4*q^20 - 4*q^21 - 2*q^23 - 2*q^27 - 8*q^29 + O(q^30)
[/color]

Maintenant, il faut trouver une relation linéaire entre les 15 monômes $x_1^i x_2^j x_3^k$ avec $i+j+k = 4$. Car on sait qu'une telle relation existe puisque $X_0^+(128)$ est une courbe de genre 3 non hyperelliptique donc une courbe (lisse) de $\P^2$ définie par $F = 0$ où $F$ est homogène de degré 4.

Là, je vais court-circuiter cette étape. Et d'autre part bricoler pour obtenir une équation simple, non pas entre $x_1, x_2, x_3$ mais entre $x, y, z$ des combinaisons linéaires ad-hoc des $x_i$.

[color=#000000]
> x := x1 ; y := 2*x2 ; z := 2*x3 - x1 ;
> y^2*(2*x - y)^2 + 2*(z^4 - x^4) ;  
O(q^103)
[/color]

Une équation de $X_0^+(128)$ est donc $y^2(2x - y)^2 + 2(z^4 - x^4) = 0$. Merci Elkies.

LOU16 · April 2019

@Claude Quitté
Merci pour ce beau dictionnaire que tu m'as offert et que vais étudier en prenant mon temps. C'est un cadeau que j'apprécie particulièrement car il correspond à ce que je cherchais. Merci aussi pour le signalement de la coquille (cela commence à faire beaucoup)

claude quitté · April 2019

$\def\P{\mathbb P}$@LOU16
Dans mon post dictionnaire http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1795204,1799690#msg-1799690, j'ai oublié de signaler que le revêtement $F_+ : L \to L$ est invariant à la source par $\gamma$ au sens où $F_+ \circ \gamma = F_+$, en rappelant que $\gamma$ sur $L : Y^2 = 2X^4 - Z^4$ réalise $X \leftrightarrow -X$, $Y \leftrightarrow -Y$. L'invariance en question se vérifie facilement en regardant l'action de $\gamma$ sur les intermédiaires $a_2$, $b_2$, $a_3$, $b_3$ ...etc.. Et du coup, le revêtement $F_- : L \to L$ dont je n'ai pas parlé, celui qui consiste à remplacer $Y$ par $-Y$, chez toi $(u,v,w) \mapsto (x_\varepsilon, y_\varepsilon, z_\varepsilon)$ pour $\varepsilon = -1$, est défini par :
$$
F_- = F_+ \circ \beta = F_+ \circ \alpha
$$
Malgré ce dictionnaire qui se veut structurel, je ne sais pas si on peut vraiment rendre compte du côté de $E : y^2 = x(x^2 + 8)$ de ton arbre monté ``sur $L$''. Peut-être que cette trouvaille combinatoire de ta part doit rester du côté de $L$ ? Les histoires de signes du côté de $L$ provoquent chez moi une certaine confusion : je suis incapable de dire si ton arbre est installé sur une partie de $L$ ou un quotient de $L$ !

Il y a plein de trous à boucher dans mon post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1795204,1798068#msg-1798068 sur les quotients de la courbe $C_3$. Je m'en suis aperçu suite à une remarque de moduloP. Peut-être qu'il n'est pas trop tard pour boucher ces trous ? I.e. expliciter le plus de revêtements possible en allant en chercher certains dans ta forêt amazonienne http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1795204,1797402#msg-1797402. J'ai commencé à m'en occuper. Je précise ici comment on va de la courbe affine $C_{sr}$ (notée $C_1$ en projectif), vers $128a_1 : y^2 = (x+1)(x^2 + 1)$, Namiswan originel.

En plongeant dans ta forêt, on y voit, vers la ligne 8 en partant du haut, une équation en $r,s$ encadrée numérotée (1) :
$$
C_{sr} : (2r^2 -1)^2 = 2s^2 - 1 \quad \hbox {i.e.} \quad s^2 = 2r^4 - 2r^2 + 1 \qquad\qquad
\hbox {dans}\qquad \P^2(1,2,1)_{(r:s:t)} \quad C_1 : s^2 = 2r^4 - 2r^2t^2 + t^4
$$
On y voit juste avant, $(1+x)(1+x^2) = y^2$, $1+x = 2r^2$, $1+x^2 = 2s^2$ donc $y = 2rs$:
$$
x = 2r^2 - 1, \qquad y = 2rs \qquad \qquad \hbox {homogénéisation} \qquad
x = (2r^2 - t^2)\times t, \qquad y = 2rs, \qquad z = t^2 \times t
$$
Il faut faire attention à l'homogénéisation : $r,t$ ont le poids $1$, $s$ le poids $2$, donc $y$ a le poids 3, ce qui force du côté de la courbe elliptique $128 a_1$ réalisée dans $\P^2(1,1,1)_{(x:y:z)}$ à du degré 3 à l'arrivée. Bref, voici le revêtement (degré 2) de $C_1$ vers $128a_1$ :
$$
C_1 \ni (r : s : t) \longmapsto (x = (2r^2 - t^2) t : \ y = 2rs : \ z = t^3) \in 128a_1
$$
On vient seulement de réaliser une flèche horizontale, de la droite vers la gauche (celle de la 2-cousine de Namiswan vers Namiswan).

Par ailleurs, l'équation hyperlliptique $C_1 : s^2 = 2r^4 - 2r^2t^2 + t^4$ est telle que le coefficient devant $t^4$ est un carré d'où le point $\Q$-rationnel facile $(r=0 : s = 1 : t = 1)_{C_1}$ qui permet de la transformer en la courbe elliptique codée $128a_2$.

J'ai également réglé quelques quotients. A quoi cela sert ? Pour moi, continuer à apprendre un peu de métier dans les courbes algébriques et à m'y rertrouver en forêt.

moduloP · April 2019

Hello Claude,

Oui du coup, je dois pouvoir suivre la construction de $X_0^+(128)$, je pense que j'ai une fonction AtkinLehnerOperator. Le reste c'est de l'algèbre linéaire, mais j'ai la flemme de le faire pour l'instant :-D

Ton objet $\mathbb{P}^2_{1,2,3}$, est-ce que c'est le quotient des vecteurs de $\C^3$ par l'action de $\C^\star$ donnée par $\lambda \star (x,y,z) = (\lambda x, \lambda^2 y, \lambda^3 z)$ ?

claude quitté · April 2019

$\def\P{\mathbb P}$Hello moduloP
Oui $\P^2(1,2,3)_{(x : y : z)}$, c'est ce que tu dis. Pour amener de tels objets, de manière pédagique et naturelle (bigre), on peut considérer, par exemple, une équation en les variables $x,y,z$ :
$$
y^2 = ax^4 + bx^2z^2 + cz^4 \qquad \qquad (\star)
$$
En quel sens peut-on multiplier $x, y, z$ par un scalaire ? Une possibilité consiste à multiplier l'équation par $\lambda^4$ :
$$
(\lambda^2y)^2 = a(\lambda x)^4 + b (\lambda x)^2 (\lambda z)^2 + c(\lambda z)^4
$$
On voit alors le coup de $\lambda \star (x,y,z) = (\lambda x, \lambda^2 y, \lambda z)$. Si bien que l'on considère $(\star)$ dans $\P^2(1,2,1)_{(x : y : z)}$. Dans ce fil, cela arrive je ne sais combien de fois.

claude quitté · April 2019

$\def\L{\text{left}}\def\R{\text{right}}$@LOU16 Je m'ennuyais un peu. Alors je me suis dit : je vais prendre un groupe abélien libre à deux générateurs $\Z e_1 \oplus \Z e_2$ et je vais définir deux opérations $\L, \R : \Z e_1 \oplus \Z e_2 \to \Z e_1 \oplus \Z e_2$:
$$
\L : v \mapsto 2v \qquad \qquad \R : v \mapsto -2v + 2e_2
$$

[color=#000000]
> F<e1,e2> := FreeAbelianGroup(2) ;
> left := map < F -> F | v :-> 2*v > ;
> right := map < F -> F | v :-> -2*v + 2*e2 > ;
[/color]

Mais je m'ennuyais toujours. Alors je me suis dit je vais monter des strates de la manière suivante : au départ, je fabrique une strate $S_1$ réduite à $\{e_1\}$ puis ensuite je vais donner un coup de $\L$ et un coup de $\R$ pour obtenir la strate $S_2$, en laissant les éléments dans cet ordre. Et puis je vais recommencer pour obtenir la strate $S_3$ (à 4 éléments) . And so on. Voici les strates $S_i$ pour $1 \le i \le 4$.

[color=#000000]
> S1 := [e1] ;
> S2 := &cat [[left(v), right(v)] : v in S1] ;
> <v : v in S2> ;
<2*e1, -2*e1 + 2*e2>
> S3 := &cat [[left(v), right(v)] : v in S2] ;
> <v : v in S3> ;
<4*e1, -4*e1 + 2*e2, -4*e1 + 4*e2, 4*e1 - 2*e2>
> S4 := &cat [[left(v), right(v)] : v in S3] ;
> <v : v in S4> ;
<8*e1, -8*e1 + 2*e2, -8*e1 + 4*e2, 8*e1 - 2*e2, -8*e1 + 8*e2, 8*e1 - 6*e2, 8*e1 - 4*e2, -8*e1 + 6*e2>
[/color]

Et comme pas loin, il y avait la courbe elliptique $E : y^2 = x(x^2 + 8)$, alias $256b_2$, avec ses deux points $p_1, p_2$ ci-dessous, je me suis dit que cela serait une bonne chose de remplacer $e_1$ par $p_1$ et $e_2$ par $p_2$. Et puis, pourquoi ne pas balancer tout cela par l'isomorphisme $h : E \to L : Y^2 = 2X^4 - Z^4$ ?

[color=#000000]
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + 8*x over Rational Field
> p1, p2 ;
(1 : 3 : 1) (8 : 24 : 1)
FtoL := map < F -> L | v :-> h(v1*p1 + v2*p2) where v1,v2 is Explode(Eltseq(v)) > ;
[/color]

Allons-y : donnons un coup de FtoL à la strate $S_2$

[color=#000000]
> FtoL(S2) ;
[ (-1525 : 2750257 : 1343), (-2165017 : 3503833734241 : 2372159) ]
[/color]

Comme le résultat sous forme de triplet $(X,Y,Z)$ est un peu encombrant, je vais supprimer dans le triplet celui du milieu et mettre des valeurs absolues pour abolir les signes

[color=#000000]
> Show(FtoL(S2)) ;
[1525 1343]      [2165017 2372159]
> 
> Show(FtoL(S3)) ;
[42422452969 9788425919]   [7658246457672229 5705771236038721]    [452005526897888844293504165425 173658539553825212149513251457]
     [15512114571284835412957 17999572487701067948161]
[/color]

Pour des raisons évidentes, je ne montre pas le résultat pour la strate $S_4$.
Voilà, voilà. C'est tout ? Oui. Mais pendant les 15 minutes que j'ai fait cela, je ne me suis pas ennuyé.

claude quitté · April 2019

$\def\PSL{\text{PSL}}\def\mat#1#2#3#4{\left[\matrix {#1 & #2\cr #3 &#4\cr}\right]}$@moduloP L'autre jour, je n'ai pas vérifié ton calcul du genre de $X_0(128)$ in http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1795204,1799780#msg-1799780, via Riemann-Hurtwitz : $X_0(128) \to X(1)$. J'ai juste vu 192, indice de $\Gamma_0(128)$ dans $\PSL_2(\Z)$. Là, je me bats avec $X_0(256)$ et peut-être que tu peux m'aider ?

0) Le nombre $h = 4$ a la propriété que $ad \equiv 1 \bmod h \Rightarrow a \equiv d \bmod h$. Il en est de même de tout diviseur $h$ de 24. J'ai vu cela dans la section 3 de Montrous Moonshine de Conway Norton http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.3704&rep=rep1&type=pdf où ils décrivent de manière très précise le normalisateur de $\Gamma_0(N)$ dans $\PSL_2(\mathbb R)$, ce qui permet d'obtenir des automorphismes de $X_0(N)$. Le nombre 24 est le nombre magique : $\eta^{24} = \Delta$.

1) En suivant les deux auteurs, il m'a pris l'envie de considérer $T_4 : \tau \mapsto \tau + 1/4$ sur le demi-plan de Poincaré i.e.
$$
T_4 = \mat{1}{1/4}{0}{1}, \qquad \qquad
T_4 \mat{a}{b}{c}{d} T_4^{-1} = \mat{a + c/4}{-a/4 + b -c/16 + d/4}{c}{-c/4 + d}
$$
Le nombre $4$ a également la propriété que $4^2 = 16$ divise 256. Imagine maintenant que $\mat{a}{b}{c}{d} \in \Gamma_0(256)$ donc $ad - bc = 1$ et $c \equiv 0 \bmod 256$ donc $ad \equiv 1 \bmod 256$, a fortiori $ad \equiv 1 \bmod 4$ DONC $a \equiv d \bmod 4$. Si bien que la matrice à droite est dans $\Gamma_0(256)$.

Bref, $T_4$ normalise $\Gamma_0(256)$ et induit un automorphisme d'ordre 4 de $X_0(256)$ puisque $T_4^4 = T \in \Gamma_0(256)$.

2) Il me prend l'envie de calculer le genre de $X_0(256)/T_4$. Et plus si affinité. C'est là que tu peux jouer un rôle. D'abord $X_0(256)$ est de genre 21. Et j'aurais bien envie que $X_0(256)/T_4$ soit de genre 3. Et comme le revêtement $X_0(256) \to X_0(256)/T_4$ est de degré 4 :
$$
2 - 2 \times 21 =_{?} 4 \times (2 - 2 \times 3) - \sum_i (e_i-1) \qquad\qquad
-40 =_{?} -16 - \sum_i(e_i-1) \qquad\qquad \sum_i (e_i-1) =_{?} 24
$$
C'est là où je suis pas net : sur les points fixes de $T_4$. Je fais le pari que ce sont uniquement les cusps de $X_0(256)$ en nombre 24

3) Là je vais laisser la parole à magma

[color=#000000]
> G := Gamma0(256) ;
> Genus(G) ;
21
> C := Cusps(G) ;
> C ;
[
    oo,
    0,
    1/2,
    1/4,
    3/4,
    1/8,
    3/8,
    5/8,
    7/8,
    1/16,
    3/16,
    5/16,
    7/16,
    9/16,
    11/16,
    13/16,
    15/16,
    1/32,
    3/32,
    5/32,
    7/32,
    1/64,
    3/64,
    1/128
]
> T4 := PSL2Q ! T4 ;
> T4 ;
[  1 1/4]
[  0   1]
[/color]

Je fais de $T_4$ une permutation $t_4$ des 24 cusps puis un habitant de $S_{24}$.

[color=#000000]
> t4 := map < C -> C | c0 :-> Representative([c : c in C | IsEquivalent(G, T4*c, c0)]) > ;
> S24 := SymmetricGroup({@ c : c in C @}) ;
> S24 ; 
Symmetric group S24 acting on a set of cardinality 24
Order = 2^22 * 3^10 * 5^4 * 7^3 * 11^2 * 13 * 17 * 19 * 23
> sigma := S24 ! [t4(c) : c in C] ;
> sigma ;
(0, 3/4, 1/2, 1/4)(1/8, 7/8, 5/8, 3/8)(1/16, 13/16, 9/16, 5/16)(3/16, 15/16, 11/16, 7/16)
> // 4 cycles de longeur 4 + 8 points fixes 
> assert  #[c : c in C | t4(c) eq c] eq 8 ;
[/color]

Est ce que cela te paraît cohérent ?

moduloP · April 2019

Hello Claude,

Si on croit que $X_0(256)/T_4$ est de genre $3$ ça veut dire qu'il n'y a pas de ramification au "dessus" de $i$ et $j$. Pour le voir, faut réfléchir un peu beaucoup :-D

moduloP · April 2019

Hum, mais attend $T_4$ c'est pas un automorphisme du revêtement $X_0(256) \to X(1)$ !!! Du coup, c'est encore pire on ne peux même pas être certain que la ramification éventuelle se passe au niveau de $i$ et $j$ :-D

moduloP · April 2019

Ah oui mais si $T_4 (a) = a$ alors $T_4^4(a) = a$ et donc $T(a) = a$ et donc $a =_{\Gamma_0(N)} \infty$. Hum, réfléchir :-D

claude quitté · April 2019

@moduloP
Arg, c'est trop compliqué, je vais laisser tomber. Un point de $X_0(N)$ qui n'est pas un cusp est représenté (pas de manière unique, à similitude près) par un couple $(\Lambda, \Lambda')$ de réseaux de $\C$, vérifiant $\Lambda \subset \Lambda'$ et $\Lambda'/\Lambda$ cyclique d'ordre $N$. J'avais déjà fait un tel binz pour l'involution de Fricke $W_N : \tau \mapsto -1/(N\tau)$ en utilisant qu'elle réalise sur les classes de couples $(\Lambda, \Lambda')$ :
$$
W_N : \qquad (\Lambda, \Lambda') \mapsto (N\Lambda', \Lambda)
\qquad \qquad \text{Et cela demandait un peu (?) de travail}
$$
$\bullet$ Ici, je n'ai pas réfléchi à l'action de $T_4$ sur le codage classes (de similitude) de couples $(\Lambda, \Lambda')$

$\bullet$ De plus, en admettant que la ramification de $\pi : X_0(256) \to X_0(256)/T_4$ soit uniquement sur les cusps, cela nous fait 12 points images par $\pi$ des 24 cusps de $X_0(256)$. Le $12 = 4 + 8$ venant du nombre d'orbites de $T_4$ : 4 4-cycles + 8 1-cycles ($4 \times 4 + 8 \times 1 = 24$). Mais 12 points $\Q$-rationnels (les cusps de $X_0(N)$ sont $\Q$-rationnels), c'est trop pour notre chère courbe $C_3$ de genre 3 qui coiffe Ljunggren et Namiswan et qui n'en a que 6 (points $\Q$-rationnels).

Merci.

PS1 : il y a des gens qui bossent. Si $G_N$ est le normalisateur de $\Gamma_0(N)$ dans $\text{PSL}_2(\mathbb R)$, alors le quotient $G_N/\Gamma_0(N)$ est un groupe fini et sauf quelques exceptions, c'est le groupe des automorphismes de $X_0(N)$.

PS2 : tu connais le gag sur les premiers $p$ tels que $X_0^+(p)$ soit de genre 0 ? Rappel : $X_0^+(N) = X_0(N)/W_N$.

claude quitté · April 2019

@moduloP $T(a) = a$ donc ... Hum. Comme $T \in \Gamma_0(N)$, $T$ induit l'identité sur $X_0(N)$.

moduloP · April 2019

Claude,

Non je ne connais pas le gag concernant les $p$ tel que le genre de ... etc ?

Par contre, pourquoi veux-tu absolument que ta courbe $C_3$ soit un quotient de $X_0(N)$ avec $N = … $ ? Est-ce qu'il y a un raison de penser ça ?

M'enfin dans tous les cas c'est beaucoup trop trop complexe pour moi ces histoires !

Ps / J'ai vu ma conn.rie :-D

claude quitté · April 2019

@moduloP
$\bullet$ Les premiers $p$ tels que ... sont exactement les diviseurs premiers de l'ordre du Monstre

[color=#000000]
> time [p : p in PrimesInInterval(2,10^3) | GenusX0NQuotient(p, [p]) eq 0] ;
[ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 71 ]
Time: 0.050
[/color]

C'est mentionné en bas de la page 1 de http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.3704&rep=rep1&type=pdf

$\bullet$ La courbe $C_3$ a la propriété de ne posséder qu'un seul premier $p$ de mauvaise réduction à savoir $p = 2$. Et Elkies m'a dit, que PEUT-ËTRE, $C_3$ était un quotient de $X_0(256)$. Qu'est ce que l'on ne ferait pas pour se faire rencontrer Namiswan (conducteur 128) et Ljuggren (conducteur 256) ? 86138

moduloP · April 2019

Des fois je me demande quand même comment les chercheurs font pour trouver de pareil lien :-D

claude quitté · April 2019

$\def\L{\text{left}}\def\R{\text{right}}$Là je reviens sur l'arbre de LOU16 in http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1795204,1797954#msg-1797954 monté sur $L : Y^2 = 2X^4 - Z^4$ (une semaine déjà) et sur mon post d'hier in http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1795204,1800502#msg-1800502. Je me suis aperçu que l'on pouvait utiliser de manière pertinente le fait que sur la courbe elliptique $E : y^2 = x(x^2 + 8)$, on a $p_1 + p_2 = p_0$ où $p_1 = (x=1,y=3)_E$, $p_2 = (x=8,y=24)_E$, $p_0 = (x=0,y=0)_E$, ce dernier point étant de 2-torsion. Donc $2p_1 + 2p_2$ est le neutre de la courbe elliptique.

$\bullet$ Mais en fait, on peut TOUT oublier. Voici la manière étrange, que j'attribue à LOU16, pour générer (à quelque chose près) $2\Z$ (les nombres pairs) sous forme d'un arbre binaire. On définit deux opérations $\L, \R$ sur $\Z$ :
$$
\L : \qquad n \mapsto 2n, \qquad\qquad \R : n \mapsto -2(n+1)
$$
On part de 1 (qui est un peu spécial, sorte de racine, sauf que l'on ne considère pas qu'il est dans l'arbre) et on applique $\L, \R$ pour obtenir $(2, -4)$. Et on recommence sur chaque élément de la suite obtenue. And so on.

[color=#000000]
> Z := IntegerRing() ;
> left := map < Z -> Z | n :-> 2*n > ;
> right := map < Z -> Z | n :-> -2*(n + 1) > ;
> LeftRightEnlargement := func < strate | &cat[[left(v), right(v)] : v in strate] > ;
> 
> S := [[1]] ;
> for j := 1 to 4 do Append(~S, LeftRightEnlargement(S[j])) ; end for ;
> S ;
[
    [ 1 ],
    [ 2, -4 ],
    [ 4, -6, -8, 6 ],
    [ 8, -10, -12, 10, -16, 14, 12, -14 ],
    [ 16, -18, -20, 18, -24, 22, 20, -22, -32, 30, 28, -30, 24, -26, -28, 26 ]
]
[/color]

Un affichage plus mieux (mais pas encore trop top)

[color=#000000]
                                          [ 1 ]
                                         [ 2, -4 ]
                                       [ 4, -6, -8, 6 ]
                            [ 8, -10, -12, 10, -16, 14, 12, -14 ]
      [ 16, -18, -20, 18, -24, 22, 20, -22, -32, 30, 28, -30, 24, -26, -28, 26 ]
[/color]

$\bullet$ Je n'ai pas eu le temps de réfléchir (en général, je programme d'abord et je réfléchis ensuite, sauf qu'il m'arrive d'oublier la deuxième étape) mais je crois que l'on obtient tous les nombres pairs (positifs ou négatifs) une et une seule fois. A vérifier/prouver/assurer. Sauf $-2$ : peut-être que mon régime de démarrage n'est pas le bon. Et peut-être un truc bancal dans mes affaires. D'ailleurs, chez LOU16, il y a quand même un petit truc un peu étrange à la racine de son arbre.

$\bullet$ Et quel est le rapport avec l'arbre de LOU16 ? On prend un entier $n$ dans cet arbre (donc un entier pair), on calcule $np_1$ sur la courbe elliptique $E$, et enfin on applique l'isomorphisme $h : E \to L$. Et on tombe sur l'arbre de LOU16. Que je dis.

LOU16 · April 2019

@Claude Quitté,
Bonjour Claude,

Il me semble que je commence à y voir un tout petit peu plus clair.
Je note $\mathcal L =\left\{(x, y ,z) \in \N\times \Z \times \N^* \:\:\:/\:\:\:x\wedge z=y\wedge z =1;\:\:\:y^2 =2x^4 - z^4 \right\},\quad L=\left \{(X,Y) \in \Q^+\times \Q\:\:/\:\: Y^2 = 2X^4-1 \right \}$
Dans la suite, j'identifierai $\mathcal L$ et $L$ via la bijection $\mathcal L\to L, \quad (x,y,z)\mapsto \left(\dfrac xz, \dfrac y{z^2}\right)$.
$E:= \left \{ (X, Y) \in \Q^2 \:\:/ \:\: Y^2 =X^3 -2X \right \}$ (je suis moins difficile que toi qui a trouvé une raison de lui préférer sa "cousine" $Y^2= X^3+8X$).
Tu m'as appris que l'on disposait alors d'une injection $\Phi:\:\:\:L \longrightarrow E, \quad (X,Y) \longmapsto ( 2X^2, 2XY)$
Je note $\mathcal O$ et $P$ les points de $E$ définis par: $\mathcal O = (0,0),\:\:\: P= (2,2)$ et, histoire de faire celui qui désormais en connait un rayon sur les courbes elliptiques, je subodore que $E(\Q) = \langle P \rangle \oplus \langle \mathcal O \rangle \simeq \Z \oplus \Z/2\Z$, mais si c'est faux, c'est sans importance pour la suite.
J'ai quelques raisons de penser que $\boxed{\Phi (L)= \left\{ (2n+1)P \:\:/\: n \in \Z\right \}}$ et que "mon arbre" (l'ensemble $\mathcal L$) s'imbrique dans la courbe elliptique $E$ de la manière suivante: (il y a là quelque chose qui rappelle le contenu de ton dernier post)
$$\xymatrix {&(.,.)&&(.,.)&&(.,.)&&(.,.)&\\ \ar[dd]^{\Phi}&&(1525,\:1343)\ar[ul]_{F_+} \ar[ur]^{F_-} &&&&(2165017,\: 2372159)\ar[ul]_{F_+}\ar[ur]^{F_-}&&\ar[dd]_{\Phi}\\&&&&(13, \:1) \ar[ull]_{F_+} \ar[urr]^{F_-}&&&&\\&&&&(1,\;1) \ar [lur] &&&&\\}$$

$$\xymatrix{9P&&11P&&13P&&15P\\&5P \ar[ul]\ar[ur]&&&& 7P \ar[ul]\ar[ur]&\\&&&3P \ar[ull] \ar[urr] \\&&&P \ar[lur]\\}$$
Il est très facile de démontrer cette assertion: il suffit pour cela de vérifier que:
$\forall (x,y,z)\in \mathcal L\setminus \{(1,1,1)\},\quad \boxed{(\Phi \circ F_{\varepsilon})(x,y,z) = 2\Phi (x,y,z) -\varepsilon P}$ (où les opérations concernant le membre de droite sont celles de la loi de groupe sur $E$), connaissant les formules de duplication et d' addition pour la loi de groupe sur $E$ et sachant que :
$(\Phi \circ F_{\varepsilon})(x,y,z) = (2X^2, 2XY)$ avec $ X= \dfrac{a_{\varepsilon}^2x^2+b^2z^2 }{a_{\varepsilon}^2z^2 - 2b^2x^2},$$\quad Y=\dfrac {(a_{\varepsilon}^2x^2 -b^2z^2- 2a_{\varepsilon}bxz)^2-8a_{\varepsilon}^2b^2x^2z^2}{^(a_{\varepsilon}^2z^2 -2b^2x^2)^2},\quad a_{\varepsilon }=xz+\varepsilon y,\quad b =z^2-x^2$.
C'est tellement facile que, faute d'outils de calcul adaptés, je n'y parviens pas. Pourrais-tu, avec la puissance technologique dont tu sembles disposer, valider ou infirmer ce que je raconte ?
Si ma "conjecture" est correcte , la résolution de l'équation de Ljungrenn, (tu sais, ce problème dont tu te moques assez: $y^2 = 2x^4 -1$) se ramène alors à la recherche des points entiers sur la courbe $E$ qui sont des multiples impairs de $P$, et peut-être, subsiste -t-il, de ce côté-là, un vague espoir.

claude quitté · April 2019

@LOU16
1) Tu as tout bon. J'ai la flemme de faire un dessin xypic donc je te fournis le truc en raw-text. Je conserve un peu près tes notations et il s'agit de voir que le rectangle ci-dessous est commutatif.

[color=#000000]
E256b1 := EllipticCurve([-2,0]) ;
P := E256b1![2,2] ;
Phi := map < L -> E256b1 | [2*X^2*Z, 2*X*Y, Z^3] > ;
// Prendre des points p de L au hasard
p := h(p2) ;           assert Phi(Fplus(p)) eq 2*Phi(p) - P ;
p := h(2*p1 + 5*p2) ;  assert Phi(Fplus(p)) eq 2*Phi(p) - P ;

double := MultiplicationByMMap(E256b1, 2) ;
tMinusP := MyTranslationMap(-P) ;
//   L --------	F+ ------>  L
//   |	      	      	    |
//  Phi                    Phi
//   v     2*joker - P      v
// 256b1 ---------------> 256b1
	
// Composer à l'envers de nous autres
assert Fplus * Phi  eq   Phi * double * tMinusP ;
[/color]

Bien sûr $256b_1$ a pour modèle $y^2 = x(x^2 - 2)$ et $L$ est $y^2 = 2x^4 - z^4$. Mais ici, ce sont des courbes algébriques et pas, comme chez toi, des ensembles de points de courbes algébriques (ce n'est pas du tout la même chose). Ainsi, dans la catégorie des courbes algébriques, $\varphi : L \to 256b_1$ est un revêtement (de degré 2) dont tu reconnais la formule là-haut en homogène. Et dans cette catégorie $\varphi$ est surjectif comme tout revêtement.

Petite remarque. Sur $L$, $F_+(1 : 1 : 1)$ cela fait $(1 : 1 : 1)$ : ce n'est pas ce que semble indiquer ton schéma. Et $\varphi(1:1:1) = (2,2)_{256b_1}$, ce qui est cohérent avec la commutativité du rectangle.

2) Ce $\varphi$ était déjà intervenu dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1795204,1797484#msg-1797484. Et j'ai fini par y reconnaître (le lendemain) un 2-torseur au dessus de $256b_1$. Je t'en dirais plus dans un autre post. Note que dans mon post pointé, je dis que $(x=-1,y=1)_{256b_1}$ est un free generator de $256b_1(\Q)$ (un générateur modulo la torsion). Des free generators, il n'y en a que $4$. Et la formule d'addition avec un point de 2-torsion en position standard est
$$
E_{a,b} : \quad y^2 = x(x^2 + ax + b) \qquad \qquad (x,y) + _{E_{a,b}} (0,0) = (b/x, -by/x^2)
$$
si bien que :
$$
(x=-1,y=1)_{256b_1} + (0,0)_{256b_1} = (x=2,y=2)_{256b_1}
$$
A droite, tu reconnais ton point $P$.

3) C'est encore une bonne idée de ta part d'avoir balancer le binz sur $256b_1$ et pas sur $256b_2$ comme je l'ai fait. Je n'ai pas de préférence particulière entre les deux et si j'avais choisi $256b_2 : y^2 = x(x^2 + 8)$, c'est qu'elle est en isomorphie avec $L$. Mais j'avais des doutes (si tu as le courage de relire mes posts, cela se voit) sur le choix du point base de $L$ puis sur le choix de l'isomorphisme $h : E_{256b_2} \to L$. Tandis que $\varphi : L \to 256b_1$ a quelque chose de standard : c'est la projection d'un torseur de $256b_1$ au dessus de $256b_1$. Plus peut-être dans un autre post.

Et j'aurais d'autres choses à dire parce que là, on est parti du côté bas-gauche (horizontales) dans mon schéma http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1795204,1798068#msg-1798068

claude quitté · April 2019

$\def\joker{\text{joker}}\def\P{\mathbb P}$@LOU16
1) Je conserve les notations mais je rappelle que :
$$
256b_1 : y^2 = x(x^2-2), \quad P = (x=2,y=2)_{256b_1} \qquad\qquad\qquad
256b_2 : y^2 = x(x^2+8),
$$
Je dis que l'on a un diagramme commutatif
$$
\xymatrix @R=1.5cm @C=2cm {
L\ar[d]_\varphi \ar@/^25pt/[rrr]^{F_+} \ar[r]^{h^{-1}} & 256b_2\ar[d]|{\text{2-isog.}} \ar[r]^{\times 2} & 256b_2\ar[d]|{\text{2-isog.}}\ar[r]^h & L\ar[d]^ \varphi \\
256b_1\ar[r]_{\bullet - P} &256b_1\ar[r]_{\times 2} &256b_1\ar[r]_{\bullet +P} & 256b_1 \\
}
$$
La composée en bas est $\joker \mapsto 2(\joker -P) + P = 2\joker - P$, ce qui donne le diagramme commutatif de mon post précédent, commutativité que tu me demandais de vérifier. En fait, j'ai simplement fait un transport de structure via $h$ entre $L$ et $256b_2$. Avec le petit désagrément que sur $L$, ce qui $h$-correspond au neutre de $256b_2$, c'est $(1:1:1)$. Qui est transformé en $P = (2,2)_{256b_1}$ par $\varphi$. Et il faut faire avec (ce qui explique les diverses translations par $P$).

2) Torseurs $H_{b_1,a,b_2}$ avec $b_1b_2 = b$ au dessus de $E_{a,b} : y^2 = x(x^2 + ax + b)$. Il s'agit de $H_{b_1,a,b_2} : v^2 = b_1u^4 + au^2w^2 + b_2w^4$ dans $\P^2(1,2,1)_{(u : v : w)}$ avec un certain revêtement $\pi : H_{b_1,a,b_2} \to E_{a,b}$. J'ai pour l'instant la flemme d'en dire plus, c'est pas bien. Cela débarque chez nous avec $a=0$, $b = -2$, $b_1 = 2$, $b_2 = -1$ : le torseur correspondant est Ljunggren $L$ et le revêtement $\pi$, c'est $\varphi$.

3) Les 2-isogénies qui relient une courbe elliptique et sa cousine (avec au départ choix d'un point de 2-torsion rationnel sur la première courbe) : je me contente d'attacher un bout de page tirée du Silverman-Tate. Cela figure aussi dans le Cohen (Tools and Diophantine Equations, Vol I), section 8.2. Ici, les deux cousines en question sont $256b_1$ et $256b_2$.

4) Tu dis dans ton dernier post ``... résolution de l'équation de Ljunggren, ce problème dont tu te moques complétement''. Non, je ne crois pas (que je m'en moque). Disons que j'essaie de participer il me semble (tout autant et même un peu plus que les autres participants). 86176

claude quitté · April 2019

@LOU16 Juste pour te dire que la recherche des points entiers d'un modèle affine (entier) d'une courbe elliptique, c'est pour moi quelque chose de compliqué (et je n'y connais rien). Je prends un exemple donné par Don Zagier. Qui posait la question (en 1987 et c'est Don Zagier !) si les solutions entières :
$$
y^2 = x^3 + 27x - 62, \qquad \quad (x=2, y=0), \qquad (x = 28844402, y = \pm 154914585540)
$$
étaient uniquement celles ci-dessus. La réponse est oui et deux auteurs en fourniront une preuve qu'ils qualifient d'élémentaire in https://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/140809/CzechMathJ_60-2010-4_19.pdf
Je vais faire un petit changement de variables $x = X+2$ pour la mettre sous une forme qui ressemble un peu à nos équations i.e. $E : y^2 = X(X^2 + aX + b) = X(X^2+ 6X + 39)$. On a:
$$
E(\Q) = \Z/2\Z \oplus \Z = \langle p_0\rangle \oplus \langle p_1\rangle \qquad\qquad (\star)
$$
où $p_0 = (0,0)_E$ est le point de 2-torsion et $p_1$ le point ci-dessous:

[color=#000000]
> E := EllipticCurve(X*(X^2 + 6*X + 39)) ;    
> p0 := E![0,0] ;
> ok, p1 := IsPoint(E, 25/4) ;
> ok ;
true
> p1 ;
(25/4 : 215/8 : 1)
[/color]

Peut-être que $(\star)$, ce n'est pas si compliqué car $b = 39 = 3 \times 13$ est peu composé. Il faudrait qu'avec GaiRequin, on ait le courage de faire tourner Selmer. Mais $(\star)$ cela ne dit rien sur les points entiers. La vacherie, c'est ce qui vient :

[color=#000000]
> 2*p1 ;
(1/739600 : 4618801/636056000 : 1)
> 2*p1 + p0 ;
(28844400 : -154914585540 : 1)
[/color]

Comment le logiciel s'en sort ? Je vais dessassigner (?) la variable $E$ de manière à repartir à zéro.

[color=#000000]
> delete E ;
> E := EllipticCurve(X*(X^2 + 6*X + 39)) ;
> SetVerbose("IntegralPoints", 2) ;
> IntegralPoints(E) ;
Determining the Mordell-Weil group of Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + 27*x - 62 over Rational Field:
    Torsion Subgroup = Z/2
    Analytic rank = 1   ==> Rank(E) = 1
    The 2-Selmer group has rank 2
    Found a point of infinite order.
    After 2-descent:     1 <= Rank(E) <= 1    Sha(E)[2] is trivial
    (Searched up to height 100 on the 2-coverings.)
S = [* Infinity *]
The height pairing (with respect to the chosen Mordell-Weil basis) is:
    [3.83641]
Bounds on the height difference for E:
    -5.72352 <= h_naive - h_canon <= 1.85919
Current bound on canonical height = 8.17607E56
==> bounds on contributions to naive height: [ 132.595 ]
Current bound on canonical height = 138.111
==> bounds on contributions to naive height: [ 17.1774 ]
Current bound on canonical height = 15.3456
==> bounds on contributions to naive height: [ 17.1774 ]
Checking integrality of points with height up to 15.3457
Need to check 2 points
Found S-integral points of height: 16 
Time: 0.000
[ (0 : 0 : 1), (28844400 : 154914585540 : 1) ]
[ <(0 : 0 : 1), 1>, <(28844400 : 154914585540 : 1), 1> ]
[/color]

Je crois pouvoir confirmer d'une part que $(\star)$ Mordell-Weil n'est pas compliqué (coucou GaiRequin). Et que par contre, sans théorie (hauteurs ...etc..), les points entiers, il faut étudier. Ou bien être astucieux, cf l'article.

Namiswan · April 2019

Claude Quitté a écrit:

Je prends un exemple donné par Don Zagier. Qui posait la question (en 1987 et c'est Don Zagier !) si les solutions entières :
$$ y^2 = x^3 + 27x - 62, \qquad \quad (x=2, y=0), \qquad (x = 28844402, 154914585540) $$
étaient uniquement celles ci-dessus. La réponse est oui et deux auteurs en fourniront une preuve qu'ils qualifient d'élémentaire in https://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/140809/CzechMathJ_60-2010-4_19.pdf

Pour être plus précis dans ton lien ils disent n'utiliser que des moyens élémentaires ET des résultats classiques connus. En l'occurrence, je n'ai pas vérifié la référence mais j'imagine que la preuve du lemme 2 n'est pas élémentaire.
Un topic sur cette équation avait été crée sur maths-forum et après plusieurs réductions on s'était au final ramené à l'équation $x^4-39y^4=1$, qu'on ne savait pas résoudre (élémentairement).

Je m'excuse de ne pas participer plus à la discussion, mais n'y connaissant rien sur les courbes elliptiques il m'est compliqué de suivre. (mais si cela vous mène à une résolution élémentaire de l'équation initiale alors j'approuve

)

claude quitté · April 2019

@Namiswan
Je n'ai pas lu leur papier. Je suis tombé dessus un peu par hasard. Je voulais juste montrer à LOU16, dans des conditions vaguement analogues à notre contexte, qu'en réalisant $p' = np + p_0$ sur une courbe elliptique, avec $p_0$ de 2-torsion, on peut avoir $p'$ entier sans que $p$ ne le soit (c'est l'addition $+p_0$ qui fiche la pagaille).

De plus, j'ai cherché dans Don Zagier, Large Integral Points on Elliptic Curves https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.2307/2007900/fulltext.pdf où il avait proposé ...etc.. comme semble le dire les auteurs (extrait ci-dessous). Pas vu. J'ai quand même réussi à localiser la dite courbe elliptique : elle est en (p), dans la table I p. 433 et elle a été construite de manière ad-hoc par Don Zagier pour posséder un point entier conséquent.

Quant à la résolution des équations diophantiennes, il s'agit de quelque chose de sérieux. Et donc c'est pas pour moi. Je me contente de faire mumuse et de mettre des panneaux dans la forêt amazonienne de LOU16, cela me suffit. Par contre, j'ai l'impression que le Roi de la jungle ne va tarder à nous sortir le Graal.

En tout cas je me suis bien amusé (un peu déçu de n'être pas remonté au demi-plan de Poincaré, histoire d'acoquiner ta courbe $128a_1$ et celle de Ljunggren alias $256b_2$, mais on peut pas gagner tous les jours et même toutes les semaines)

Tiens, même si cela n'a rien à voir, mais vraiment rien à voir, je pointe un texte de Ghys sur le disque de Poincaré http://perso.ens-lyon.fr/ghys/articles/disque-poincare.pdf 86212

Tonm · November 2019

Bonjour, désolé les experts mais je me trouve là: $(1+x)(1+x^2)=y^2$ un petit argument fait que $\rm{pgcd}$ $(1+x,1+x^2)= \rm{pgcd}$ $(1+x,-x(x-1)) $ donc c' est soit un soit $2$ si $y$ est impaire on a $1+x^2=z^2$ impossible que pour $x=0$.
Si $y=2z$ pair, $x$ impaire, remplaçant $x=2i+1$ on aura, $(1+i)(1+2i^2+2i)=z^2$, les facteurs sont premiers entre eux donc $(1+i)=a^2$ et $(1+i)^2+i^2=b^2$ soit $a^4+i^2=b^2$,

si $a$ impaire, $a=eh$, $b=\dfrac{e^4+h^4}{2}$, $i=\dfrac{h^4-e^4}{2}$, $e$ et $h$ premier entre eux et même parité impaire. Aprés puisque $(1+i)=a^2$, on remplace soit $H^2-e^4+2-2e^2H=0$. Calculant le discriminant en $H$ il doit être un carré: $4e^4-8+4e^4=4(2e^4-2)=s^2$, soit $e^4-1=2S^2$ qui est

$e=2l+1$, $S=2s$, $(l)(l+1)(2l^2+2l+1)=s^2$
impossible (sauf $l=0$).

si $a$ paire. $a^4=(b-i)(b+i)$, une paramétrisation c'est $b-i=2e^4$ et $b+i=8h^4$, ou bien $b-i=8e^4$ et $b+i=2h^4$, $e$ et $h$ premier entre eux et $e$ impaire. Remplaçant c'est $h^4-4e^4+1-4e^2h^2=0$ et le discriminant ici $4(8e^4-1)=s^2$.
et l'autre $4h^4-e^4+1-4e^2h^2=0$ de discriminant $16(2e^4-1)=s^2$.

Là c'est tout.

Edit $1$ La dernière phrase risque de tirer au zéro. Donc merci. (Lou16)
En tout cas j'ai vu le fil et je croyer à bricoler. Dans un topic aux experts.

Edit $2$ Même si je hate.

Al-Kashi · November 2019

Bonsoir

J'avais une petite idée derrière la tête en ayant remarqué le lien avec les nombres de Pell mais en cherchant sur le net je suis tombé sur une preuve élémentaire très élégante de l’équation Ljunggren...
Al-Kashi

Ps: un intervenant très serieux du forum et en qui j'ai confiance m'a signalé que cette preuve est fausse... Désolé pour la fausse information involontaire. Je serai plus vigilant à l'avenir.

Al-Kashi · November 2019

Bonsoir,

Du coup lorsque j'aurai le temps et pour retenir la leçon, je tenterai de trouver l'erreur qui m'a échappée dans cette soit disante preuve. Je reste étonné que des universitaires laissent un document en ligne dès lors que l'erreur leur a été signalée.

Al-Kashi

Al-Kashi · November 2019

Bonsoir,

La partie soulignée est en effet fausse. Il suffit de prendre par exemple $33^2+56^2=(5.13)^2$ qui ne vérifie pas $\dfrac{33}{56}=\dfrac{5}{12}$

Du coup, je me pose toujours la question, si on peut accepter que même un très grand universitaire n'est pas à l'abri d'une erreur de raisonnement, comment se fait-il qu'ils laissent leur travail avec de faux résultats en ligne ?

Al-Kashi 92770

J.Faizant · November 2019

Je tiens ,de façon déplacée je l'avoue, à faire une remarque de numérologue concernant l' admirable couple d' entiers ( 239,13) qui , non seulement apporte l'unique solution non triviale de l'équation de Pell: x²-2y⁴=-1 et permet de trouver le seul terme carré de la suite de Pell correspondante mais est signalé par ailleurs dans un autre théorème concernant les suites de Lucas du type u_n+1 = au_n - u_n-1 avec a entier naturel supérieur ou égal à 4. En effet ce théorème énonce que la seule valeur de a pour laquelle il existe un terme u_n carré est 338, soit 2*13² et qu'elle est obtenue pour n=4.Si on calcule ce u₄, on trouve 6214² et justement 6214=2.13.239. Encore 13 et 239 !
La géométrie algébrique peut-elle encore nous éclairer ...?? Voir "sur les carrés dans certaines suites de Lucas"

http://www.numdam.org