Les ppcm et pgcd
dans Arithmétique
Bonjour,
Je cherche une preuve de ce petit résultat
Si A est un anneau commutatif intègre, si le ppcm existe alors le pgcd existe.
Je cherche une preuve de ce petit résultat
Si A est un anneau commutatif intègre, si le ppcm existe alors le pgcd existe.
Le 😄 Farceur
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Réponses
Soit M un ppcm de B et de C. Il y a donc deux éléments p et q que tels que
M = Bp = Cq.
BC est un multiple commun de B et de C. Il y a donc un élément D tel que
BC = MD
BC = BpD et comme l'anneau est intègre, C = pD. Ainsi, D | C. De même, D | B et D est un diviseur commun de B et de C.
Soit d un diviseur commun de B et de C. Il y a donc deux éléments b et c tels que
B = db
C = dc
dbc est un multiple commun de B et de C. On a donc pour un certain k
dbc = Mk
BC = dMk = MD d'où
dk = D
d est un diviseur de D, et ainsi D est un pgcd de de B et de C.
Tu as démontré que BC=MD, c'est a dire que la formule BC=ppmc(B,C).pgcd(B,C) est valable aussi dans un anneau commutatif intègre
J'avais aussi écrit la "réciproque" : si TOUT couple d'éléments a un pgcd, alors tout couple a un ppcm, mais je l'ai effacé parce j'avais besoin du lemme de Gauss, et j'ai eu un doute qu'il soit valable dans un anneau intègre quelconque (avec pgcd), mais je crois que c'est le cas.
J'ai cherché et j'ai trouvé sur wiki que :
Un anneau intègre à PGCD vérifie le lemme de Gauss
Je vais regarder la réciproque que tu as effacée
Lemme 1 : Si B = Db et C = Dc, on a D = pgcd (B, C) <=> pgcd (b, c) = 1
Lemme 2 : k.pgcd (B, C) = pgcd (kB, kC)
Lemme de Gauss : (D | BC et pgcd (D, =1) => D | C :
Supposons D | BC et pgcd (D, =1.
D | DC
D | pgcd (DC, BC)
D | C.pgcd(D,
D |C
Merci GG