Nombres entiers de sommes et produits fixés
dans Arithmétique
Bonjour,
Au cours d'un problème, j'ai eu l'impression suivant :
Si je dispose d'une liste de n nombres entiers (pas forcément distincts) compris (au sens large) entre 1 et n,
que leur somme vaut 1 + 2 + ... + n
et que leur produit vaut 1 x 2 x ... n,
Alors cette liste de nombres contient forcément tous les entiers de 1 à n (une et une seule fois).
Est-ce vrai ? (mes quelques essais me laissent penser que oui)
Et si oui, en auriez-vous une preuve ?
Bonne journée,
AC
Au cours d'un problème, j'ai eu l'impression suivant :
Si je dispose d'une liste de n nombres entiers (pas forcément distincts) compris (au sens large) entre 1 et n,
que leur somme vaut 1 + 2 + ... + n
et que leur produit vaut 1 x 2 x ... n,
Alors cette liste de nombres contient forcément tous les entiers de 1 à n (une et une seule fois).
Est-ce vrai ? (mes quelques essais me laissent penser que oui)
Et si oui, en auriez-vous une preuve ?
Bonne journée,
AC
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Réponses
Tu as par exemple :
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 1+3+3+4+4+4+7+9+10+10
1*2*3*4*5*6*7*8*9*10= 1*3*3*4*4*4*7*9*10*10
(On compense 2*8 --->4*4 delta somme = -2 par 5*6--->3*10 delta somme = +2 )
9 9 7 5 4 4 4 2 1 pour n = 9
A croire que je n'avais pris que des cas bien particuliers !
AC