Nombres premiers
dans Arithmétique
Bonjour à tous,
Je cherche à déterminer pour quelles valeurs de $n$ avec $n \in \mathbb{N}^{*}$, $n,n+2,n+6,n+8,n+12,n+14$ sont premiers. J'ai réalisé un programme pour tester les valeurs de $n$ jusqu'à $1000$ et aucune valeurs de $n$ ne fonctionnait. Je pense donc qui'il n'existe aucune valeurs de $n$ telle que $n,n+2,n+6,n+8,n+12,n+14$ soient premiers mais je n'arrive pas à le démontrer.
Je cherche à déterminer pour quelles valeurs de $n$ avec $n \in \mathbb{N}^{*}$, $n,n+2,n+6,n+8,n+12,n+14$ sont premiers. J'ai réalisé un programme pour tester les valeurs de $n$ jusqu'à $1000$ et aucune valeurs de $n$ ne fonctionnait. Je pense donc qui'il n'existe aucune valeurs de $n$ telle que $n,n+2,n+6,n+8,n+12,n+14$ soient premiers mais je n'arrive pas à le démontrer.
Réponses
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$n=5$ est la seule solution.
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Ah oui effectivement ça marche, j'ai du faire une erreur dans mon programme.
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Et on peut démontrer que c'est la seule solution. Parmi les 6 nombres $n, n+2, n+6, n+8,n+12, n+14$, il y en a forcément au moins 1 qui est multiple de 5.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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Quelqu'un a-t-il une piste à me donner pour le démontrer ?
EDIT: Désolé j'avais pas encore vu ton message lourran. -
Je pense avoir trouvé.
Si $n \equiv 0 \mod 5$, alors $n \equiv 0 \mod 5$.
Si $n \equiv 1 \mod 5$, alors $n+14 \equiv 0 \mod 5$
Si $n \equiv 2 \mod 5$, alors $n+8 \equiv 0 \mod 5$
Si $n \equiv 3 \mod 5$, alors $n+2 \equiv 0 \mod 5$
Si $n \equiv 4 \mod 5$, alors $n+12 \equiv 0 \mod 5$
Donc dans tous les cas au moins un des nombres est multiple de $5$.
Si $a = 5k$, pour que $a$ soit premier il faut $k=1$.
Pour $n$, on a $n=5$.
Pour $n+2$, on a $n=3$.
Pour les nombres suivants il n'y a aucune valeur de $n$ telle que.$n+q=5$.
Si $n=5$ cela fonctionne, si $n=3$, $n+6$ est divisible par 3.
Donc la seule solution est $n=5$. -
Si $n \equiv 4 \mod 5$, alors c'est $n+6$ qui est un multiple de 5, et pas $n+12$, mais c'est bien ça l'idée.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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