Petite question - théorème de Bézout

Nph · April 2019

Bonjour,

En faisant un exercice classique sur les valeurs d'adhérence de la suite (cos(nx)), mon faible niveau en arithmétique me fait bloquer sur une utilisation du théorème de Bézout :

Si p et q sont premiers entre eux, avec p impair, il existe deux entiers relatifs n et k tels que n*p + 2k*q = 1.

Quelqu'un saurait-il m'expliquer d'où sortirait ce 2 ? Pourquoi existe-t-il nécessairement un entier pair m tel que np + mq = 1 si p est impair ?

Merci d'avance à qui voudra bien m'aider.

GaBuZoMeu · April 2019

Si $p$ est impair et premier avec $q$, il est aussi premier avec $2q$.

LP · April 2019

Bonjour,
comme $p$ et $q$ sont premiers entre eux, le théorème de Bézout assure l'existence de deux entiers $u$ et $v$ tels que $up+vq=1$. Si $v$ est pair, on a le résultat. Sinon, on considère $n=u-q$ et $m=v+p$. Comme $v$ et $p$ sont impairs, $m$ est pair et $np+mq=(u-q)p+(v+p)q=up+vq=1$ donc $(n,m)$ convient.
LP

Nph · April 2019

Comment dire, à part que je n'ai pas été flamboyant......

Merci beaucoup GaBuZoMeu !!

Nph · April 2019

Merci également LP !!

Quelque chose me dit que ça me servira peut-être lorsque je me remettrai à l'arithmétique pour éventuellement trouver une relation sur les entiers (u, v) vérifiant le théorème de Bézout (pour p et q donnés). Ou peut-être pas d'ailleurs...

Petite question - théorème de Bézout

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